Questão 44 (U. F. Viçosa- MG). Seja
uma matriz invertível de ordem 2. Se
, encontre o
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz essa pergunta:
- Informação 1:
é uma matriz invertível de ordem . - Informação 2: Está dada a igualdade
. - Pergunta: encontre
.
Observação importante que veio do enunciado: por
ser invertível tem-se
.
Passo 2
Entenderemos a propriedade do determinante quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Regra geral: para uma matriz quadrada de ordem
e escalar
,
Explicação intuitiva e exemplo concreto (para tornar claro): multiplicar a matriz inteira por
equivale a multiplicar cada uma das
linhas por
; cada vez que escala-se uma linha, o determinante é multiplicado por
, então no total aparece o fator
.
Exemplo específico para
: se
então
. Multiplicando por
,
e
ou seja
. Isso confirma a fórmula para
.]
Passo 3
Outra propriedade fundamental do determinante é que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:
Aplicando isso ao caso
, obtemos
Passo 4
Agora usamos as duas propriedades nas igualdades fornecidas pelo enunciado. Para
já vimos que
E do passo anterior temos
Substituindo na igualdade do enunciado
, vem
Passo 5
Resolvendo a equação em
:
Fatorando,
portanto as soluções são
ou
. Mas como
é invertível, deve ter
. Logo descartamos
e ficamos com
Passo 6
Verificação rápida: se
então
e
, consistente com a igualdade dada. Comentário final (generalização): para uma matriz
e escalar
, a equação
levaria a
, cujas soluções são
ou
; para matriz invertível a solução seria
.