Questão 44 (U. F. Viçosa- MG). Seja A uma matriz invertível de ordem 2. Se \operatorname{det}(2 A)=\operatorname{det}\left(A^{2}\right), encontre o \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essa pergunta:
  • Informação 1: A é uma matriz invertível de ordem 2.
  • Informação 2: Está dada a igualdade \det(2A)=\det\bigl(A^{2}\bigr).
  • Pergunta: encontre \det(A).
Observação importante que veio do enunciado: por A ser invertível tem-se \det(A)\neq 0.

Passo 2

Entenderemos a propriedade do determinante quando multiplicamos uma matriz por um escalar. Regra geral: para uma matriz quadrada de ordem n e escalar c,
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Explicação intuitiva e exemplo concreto (para tornar claro): multiplicar a matriz inteira por c equivale a multiplicar cada uma das n linhas por c; cada vez que escala-se uma linha, o determinante é multiplicado por c, então no total aparece o fator c^{n}.
Exemplo específico para n=2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então \det(A)=ad-bc. Multiplicando por 2,
2A=\begin{pmatrix}2a & 2b\\[4pt] 2c & 2d\end{pmatrix},
e
\det(2A)=(2a)(2d)-(2b)(2c)=4(ad-bc)=4\det(A),
ou seja \det(2A)=2^{2}\det(A)=4\det(A). Isso confirma a fórmula para n=2.]

Passo 3

Outra propriedade fundamental do determinante é que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Aplicando isso ao caso A^{2}=A\cdot A, obtemos
\det\bigl(A^{2}\bigr)=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.

Passo 4

Agora usamos as duas propriedades nas igualdades fornecidas pelo enunciado. Para n=2 já vimos que
\det(2A)=4\det(A).
E do passo anterior temos
\det\bigl(A^{2}\bigr)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Substituindo na igualdade do enunciado \det(2A)=\det\bigl(A^{2}\bigr), vem
4\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.

Passo 5

Resolvendo a equação em x=\det(A):
x^{2}-4x=0.
Fatorando,
x(x-4)=0,
portanto as soluções são x=0 ou x=4. Mas como A é invertível, deve ter \det(A)\neq 0. Logo descartamos x=0 e ficamos com
\det(A)=4.

Passo 6

Verificação rápida: se \det(A)=4 então \det(2A)=4\det(A)=16 e \det(A^{2})=(\det(A))^{2}=16, consistente com a igualdade dada. Comentário final (generalização): para uma matriz n\times n e escalar c, a equação \det(cA)=\det(A^{2}) levaria a c^{n}\det(A)=(\det(A))^{2}, cujas soluções são \det(A)=0 ou \det(A)=c^{n}; para matriz invertível a solução seria \det(A)=c^{n}.

Resposta

\det(A)=4

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