Resolva
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea.
- O termo não homogêneo pode ser simplificado algebricamente antes de resolver.
- Precisamos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro simplificamos o lado direito. Note que
pois
. Portanto
A equação fica então
Passo 3
Agora resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
cuja solução é
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Vamos procurar uma solução particular
da equação não homogênea
Como o lado direito é soma de duas funções, obtemos
, onde
resolve
e
resolve
Passo 5
Procuramos
por tentativa: suponha
constante. Então
e a equação dá
, logo
Passo 6
Para
(direito
) usamos variação de parâmetros. Tomamos como soluções fundamentais da homogênea
A Wronskiana é
Para a equação na forma
as fórmulas de variação de parâmetros dão
Aqui
. Portanto
Passo 7
Simplificamos as integrais usando identidades hiperbólicas. Note que
Usando
obtemos
Analogamente
Passo 8
Substituindo nas expressões para
e
:
Passo 9
Integramos para obter
e
. Precisamos da primitiva de
. Uma primitiva conveniente é
pois
Integramos então termo a termo (tomando as constantes de integração iguais a zero, o que é suficiente para construir uma solução particular):
Passo 10
A solução particular dada por variação de parâmetros é
Substituindo:
Somando,
Passo 11
Portanto a solução particular total é
Passo 12
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: