Resolva y^{\prime \prime}-y=\frac{2 e^{x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y=\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo pode ser simplificado algebricamente antes de resolver.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro simplificamos o lado direito. Note que
\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{2}\bigl(1+\operatorname{tanh} x\bigr),
pois \operatorname{tanh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}. Portanto
\frac{2e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}=1+\operatorname{tanh} x.
A equação fica então
y''-y=1+\operatorname{tanh} x.

Passo 3

Agora resolvemos a equação homogênea associada:
y''-y=0.
A equação característica é
r^{2}-1=0,
cuja solução é r=\pm 1. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Vamos procurar uma solução particular y_{p} da equação não homogênea
y''-y=1+\operatorname{tanh} x.
Como o lado direito é soma de duas funções, obtemos y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}, onde y_{p}^{(1)} resolve
y''-y=1
e y_{p}^{(2)} resolve
y''-y=\operatorname{tanh} x.

Passo 5

Procuramos y_{p}^{(1)} por tentativa: suponha y_{p}^{(1)}=A constante. Então y''=0 e a equação dá -A=1, logo
y_{p}^{(1)}=-1.

Passo 6

Para y_{p}^{(2)} (direito \operatorname{tanh} x) usamos variação de parâmetros. Tomamos como soluções fundamentais da homogênea
y_{1}=e^{x},\qquad y_{2}=e^{-x}.
A Wronskiana é
W=\begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x}\\\ e^{x} & -e^{-x}\end{vmatrix}=e^{x}(-e^{-x})-e^{-x}e^{x}=-2.
Para a equação na forma y''-y=r(x) as fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}'=-\frac{r(x)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{r(x)\,y_{1}}{W}.
Aqui r(x)=\operatorname{tanh} x. Portanto
u_{1}'=-\frac{\operatorname{tanh} x\; e^{-x}}{-2}=\tfrac{1}{2}e^{-x}\operatorname{tanh} x,
u_{2}'=\frac{\operatorname{tanh} x\; e^{x}}{-2}=-\tfrac{1}{2}e^{x}\operatorname{tanh} x.

Passo 7

Simplificamos as integrais usando identidades hiperbólicas. Note que
e^{-x}\operatorname{tanh} x=(\operatorname{cosh} x-\operatorname{sinh} x)\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}=\operatorname{sinh} x-\frac{\operatorname{sinh}^{2}x}{\operatorname{cosh} x}.
Usando \operatorname{sinh}^{2}x=\operatorname{cosh}^{2}x-1 obtemos
e^{-x}\operatorname{tanh} x=\operatorname{sinh} x-(\operatorname{cosh} x-\sech x)=-\underbrace{(\operatorname{cosh} x-\operatorname{sinh} x)}_{=e^{-x}}+\sech x=-e^{-x}+\sech x.
Analogamente
e^{x}\operatorname{tanh} x=e^{x}-\sech x.

Passo 8

Substituindo nas expressões para u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'=\tfrac{1}{2}\bigl(-e^{-x}+\sech x\bigr)=-\tfrac{1}{2}e^{-x}+\tfrac{1}{2}\sech x,
u_{2}'=-\tfrac{1}{2}\bigl(e^{x}-\sech x\bigr)=-\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}\sech x.

Passo 9

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Precisamos da primitiva de \sech x. Uma primitiva conveniente é
\int \sech x\,dx=2\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C,
pois
\frac{d}{dx}\bigl(2\arctan(e^{x})\bigr)=2\cdot\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}=\frac{2e^{x}}{e^{2x}+1}=\sech x.
Integramos então termo a termo (tomando as constantes de integração iguais a zero, o que é suficiente para construir uma solução particular):
u_{1}=\int\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-x}+\tfrac{1}{2}\sech x\Bigr)dx =\tfrac{1}{2}e^{-x}+\arctan\bigl(e^{x}\bigr),
u_{2}=\int\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}\sech x\Bigr)dx =-\tfrac{1}{2}e^{x}+\arctan\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 10

A solução particular dada por variação de parâmetros é
y_{p}^{(2)}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Substituindo:
u_{1}y_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{-x}+\arctan(e^{x})\Bigr)e^{x}=\tfrac{1}{2}+e^{x}\arctan(e^{x}),
u_{2}y_{2}=\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{x}+\arctan(e^{x})\Bigr)e^{-x}=-\tfrac{1}{2}+e^{-x}\arctan(e^{x}).
Somando,
y_{p}^{(2)}=e^{x}\arctan(e^{x})+e^{-x}\arctan(e^{x})=(e^{x}+e^{-x})\arctan(e^{x}).

Passo 11

Portanto a solução particular total é
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}=-1+(e^{x}+e^{-x})\arctan(e^{x}).

Passo 12

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-1+(e^{x}+e^{-x})\arctan(e^{x}).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-1+(e^{x}+e^{-x})\arctan\bigl(e^{x}\bigr)

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