QUESTÃO 45

Com boa aproximação, a lei da irradiação de StefanBoltzmann, \mathrm{I}=\sigma \mathrm{T}^{4}, medida em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, permite calcular a temperatura média da Terra. Supondo-a sem atmosfera e como um corpo negro ideal à temperatura T, o balanço energético entre a irradiação recebida do Sol e a transmitida pela Terra de volta ao espaço fornece \mathrm{T}^{\sim} 255 \mathrm{~K}\left({ }^{\sim}-18^{\circ} \mathrm{C}\right) para a temperatura média da Terra.
Entretanto, sabe-se que a temperatura média da Terra é de { }^{\sim} 288 \mathrm{~K}\left(\sim 15^{\circ} \mathrm{C}\right), ou seja, 33^{\circ} \mathrm{C} mais quente do que a hipótese da inexistência da atmosfera. Esse aquecimento adicional é o que se chama de “efeito estufa”, no qual alguns gases da atmosfera, como por exemplo o dióxido de carbono e o metano, absorvem e reemitem radiação infravermelha.
Sabendo que a constante de Stefan-Boltzmann \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{k}^{4}\right), a irradiação infravermelha emitida pela atmosfera é, em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, aproximadamente
a) 150 .
b) 240 .
c) 308 .
d) 390 .
e) 602.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi fornecido):
  • A lei de Stefan–Boltzmann: \displaystyle I=\sigma T^{4}, medida em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • A constante: \displaystyle \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}).
  • Temperatura média prevista sem atmosfera (corpo negro que equilibra com o Sol): \displaystyle T_{\text{eff}}\approx255\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura média real da superfície com atmosfera: \displaystyle T_{\text{surf}}\approx288\\ \mathrm{K}.
    A pergunta: “a irradiação infravermelha emitida pela atmosfera é, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, aproximadamente” e apresenta opções numéricas.
    Neste problema precisamos relacionar essas temperaturas e a lei de Stefan–Boltzmann para obter a radiação característica associada ao sistema Terra–atmósfera.

Passo 2

Relembrando e explicando a fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência radiada por unidade de área por um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta:
I=\sigma T^{4},
onde:
  • \displaystyle I é a irradiância (fluxo de energia por unidade de área), em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2};
  • \displaystyle \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \displaystyle 5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}));
  • \displaystyle T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Esse é o instrumento principal para transformar uma temperatura em um fluxo radiativo — coisa que cai muito bem em prova.

Passo 3

Calcular a irradiância correspondente à temperatura efetiva sem atmosfera \displaystyle T_{\text{eff}}=255\\ \mathrm{K}. Vou mostrar as contas passo a passo para não sobrar dúvida.
Primeiro calcule \displaystyle 255^{2} e \displaystyle 255^{4}:
255^{2}=65025, \qquad 255^{4}=(255^{2})^{2}=65025^{2}=4\,228\,250\,625.
Agora aplique Stefan–Boltzmann:
I_{\text{eff}}=\sigma\,255^{4} =5{,}67\times10^{-8}\times4\,228\,250\,625.
Multiplicando:
I_{\text{eff}}\approx5{,}67\times10^{-8}\times4{,}228{,}250{,}625 \approx239{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Observação física: esse valor \approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} é justamente o fluxo médio solar absorvido pela Terra (após considerar a albedo) e é o valor que define \displaystyle T_{\text{eff}}=255\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a irradiância correspondente à temperatura da superfície \displaystyle T_{\text{surf}}=288\\ \mathrm{K}, para comparar e entender os papéis:
Primeiro calcule \displaystyle 288^{2} e \displaystyle 288^{4}:
288^{2}=82\,944, \qquad 288^{4}=82\,944^{2}=6\,879\,707\,136.
Aplicando Stefan–Boltzmann:
I_{\text{surf}}=\sigma\,288^{4} =5{,}67\times10^{-8}\times6\,879\,707\,136 \approx390{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\approx390\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Interpretação: a superfície, estando a \displaystyle 288\\ \mathrm{K}, emite para cima cerca de \displaystyle 390\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Mas isso não contraria o balanço global porque nem toda essa energia vai diretamente ao espaço — a atmosfera absorve e reemite.

Passo 5

Explicar o modelo físico simples (modelo de uma camada atmosférica ideal) que liga esses números e nos dá a resposta pedida:
  • No modelo de uma camada atmosférica completamente absorvente (em IR) e que está em equilíbrio radiativo, a camada absorve a radiação infravermelha emitida pela superfície ( \approx390\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) e então reemite para cima e para baixo igualmente.
  • Para o equilíbrio energético do conjunto Terra+atmosfera com o Sol, a potência que escapa ao espaço deve ser \approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (o que calculamos para \displaystyle T_{\text{eff}}=255\\ \mathrm{K}).
  • Assim, a atmosfera emite para o espaço (e, por simetria, também para a superfície) um valor aproximado de
I_{\text{atm}}\approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Esse é o fluxo infravermelho associado à atmosfera que participa do “efeito estufa” (o famoso “back radiation” que aquece a superfície). Em termos das alternativas fornecidas, esse é o valor correto.

Passo 6

Resumo físico e reforço (como aplicar isso na prova):
  • Use sempre \displaystyle I=\sigma T^{4} para passar entre temperatura e fluxo.
  • Lembre que o fluxo solar médio absorvido pela Terra é \approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} — um valor muito usado em problemas climáticos.
  • No modelo simples, a atmosfera reemite esse mesmo valor para cima (ao espaço) e para baixo (à superfície), portanto a irradiação infravermelha associada à atmosfera é \approx240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Se a prova pedir a emissão da superfície, calcule com \displaystyle T_{\text{surf}}=288\\ \mathrm{K} e obterá \approx390\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

b) 240 W/m²

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