Questão 44: Seja A o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que 10 e menores que 50 tais que, ao serem divididos por 3, deixam resto 1. Seja B o conjunto dos números interos e positivos maiores que 12 e menores que 51 tais que, ao serem divididos por 5, deixam resto 4.
A quantidade de elementos do conjunto formado pelos números que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B é:
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .
Passo 1
O enunciado define dois conjuntos e pede a quantidade de elementos do conjunto formado pela interseção deles. Informações dadas:
-
é o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que e menores que tais que, ao serem divididos por , deixam resto . -
é o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que e menores que tais que, ao serem divididos por , deixam resto . - Pergunta: quantos elementos tem
(isto é, quantos números pertencem simultaneamente a e )?
Passo 2
Entendendo a linguagem de restos (congruências) — pequena aula:
- Dizer que um número
deixa resto ao ser dividido por é o mesmo que escrever a congruência
- Isso significa que
é múltiplo de , ou seja, existe um inteiro tal que .
Exemplo rápido: se, então para algum inteiro .
Passo 3
Traduzindo as condições dos conjuntos em congruências e intervalos inteiros:
- Para
: e, como são inteiros maiores que e menores que , temos . - Para
: e, como são inteiros maiores que e menores que , temos . - Logo, um número está em
se satisfizer simultaneamente
e pertencer ao intervalo inteiro comum dos dois conjuntos.
Passo 4
Determinar o intervalo comum (interseção dos intervalos):
-
contém de até . -
contém de até . - A interseção de intervalos inteiros é
, isto é, .
Passo 5
Resolver o sistema de congruências passo a passo:
- Escrevo
em função de um inteiro a partir da primeira congruência:
- Substituo na segunda congruência
:
- Simplifico:
. Como , podemos “dividir” por no módulo , ou multiplicar por inverso de módulo (o inverso de módulo é , porque ). Assim obtemos
ou seja
para algum inteiro
.
Passo 6
Obter a forma geral das soluções e interpretar com o Teorema Chinês do Resto (informal):
- Substituindo
em vem
- Portanto a solução geral do sistema é
(Isto é consistente com o princípio de que, sendo
e
coprimos, há uma única classe módulo
que resolve o sistema.)
Passo 7
Encontrar quais valores da forma
caem no intervalo
:
- Para
: (fora do intervalo, muito pequeno). - Para
: (dentro). - Para
: (dentro). - Para
: (dentro). - Para
: (fora, maior que ).
Logo os valores que pertencem simultaneamente ae são , e .
Passo 8
Contagem final e conclusão:
- Listei os elementos de
: . - A quantidade de elementos é
.
Resposta
(c)