Questão 44: Seja A o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que 10 e menores que 50 tais que, ao serem divididos por 3, deixam resto 1. Seja B o conjunto dos números interos e positivos maiores que 12 e menores que 51 tais que, ao serem divididos por 5, deixam resto 4.
A quantidade de elementos do conjunto formado pelos números que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B é:
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
e) 5 .

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos e pede a quantidade de elementos do conjunto formado pela interseção deles. Informações dadas:
  • A é o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que 10 e menores que 50 tais que, ao serem divididos por 3, deixam resto 1.
  • B é o conjunto dos números inteiros e positivos maiores que 12 e menores que 51 tais que, ao serem divididos por 5, deixam resto 4.
  • Pergunta: quantos elementos tem A\cap B (isto é, quantos números pertencem simultaneamente a A e B)?

Passo 2

Entendendo a linguagem de restos (congruências) — pequena aula:
  • Dizer que um número x deixa resto r ao ser dividido por m é o mesmo que escrever a congruência
x \equiv r \pmod{m}.
  • Isso significa que x-r é múltiplo de m, ou seja, existe um inteiro k tal que x = mk + r.
    Exemplo rápido: se x \equiv 1 \pmod{3}, então x=3k+1 para algum inteiro k.

Passo 3

Traduzindo as condições dos conjuntos em congruências e intervalos inteiros:
  • Para A: x\equiv1\pmod{3} e, como são inteiros maiores que 10 e menores que 50, temos x\in\{11,12,\dots,49\}.
  • Para B: x\equiv4\pmod{5} e, como são inteiros maiores que 12 e menores que 51, temos x\in\{13,14,\dots,50\}.
  • Logo, um número está em A\cap B se satisfizer simultaneamente
x\equiv1\pmod{3},\qquad x\equiv4\pmod{5},
e pertencer ao intervalo inteiro comum dos dois conjuntos.

Passo 4

Determinar o intervalo comum (interseção dos intervalos):
  • A contém de 11 até 49.
  • B contém de 13 até 50.
  • A interseção de intervalos inteiros é x\in\{13,14,\dots,49\}, isto é, 13\le x\le49.

Passo 5

Resolver o sistema de congruências passo a passo:
  • Escrevo x em função de um inteiro k a partir da primeira congruência:
x = 3k + 1.
  • Substituo na segunda congruência x\equiv4\pmod{5}:
3k+1 \equiv 4 \pmod{5}.
  • Simplifico: 3k \equiv 3 \pmod{5}. Como \gcd(3,5)=1, podemos “dividir” por 3 no módulo 5, ou multiplicar por inverso de 3 módulo 5 (o inverso de 3 módulo 5 é 2, porque 3\cdot2=6\equiv1\pmod5). Assim obtemos
k \equiv 1 \pmod{5},
ou seja k = 5t+1 para algum inteiro t.

Passo 6

Obter a forma geral das soluções e interpretar com o Teorema Chinês do Resto (informal):
  • Substituindo k=5t+1 em x=3k+1 vem
x = 3(5t+1) + 1 = 15t + 4.
  • Portanto a solução geral do sistema é
x \equiv 4 \pmod{15}.
(Isto é consistente com o princípio de que, sendo 3 e 5 coprimos, há uma única classe módulo 15 que resolve o sistema.)

Passo 7

Encontrar quais valores da forma x=15t+4 caem no intervalo 13\le x\le49:
  • Para t=0: x=15\cdot0+4=4 (fora do intervalo, muito pequeno).
  • Para t=1: x=15\cdot1+4=19 (dentro).
  • Para t=2: x=15\cdot2+4=34 (dentro).
  • Para t=3: x=15\cdot3+4=49 (dentro).
  • Para t=4: x=15\cdot4+4=64 (fora, maior que 49).
    Logo os valores que pertencem simultaneamente a A e B são 19, 34 e 49.

Passo 8

Contagem final e conclusão:
  • Listei os elementos de A\cap B: 19,\;34,\;49.
  • A quantidade de elementos é 3.

Resposta

(c) 3

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