Calcule \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)
a) -\infty
b) -1
c) -\frac{1}{2}
d) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right).
Informações dadas pelo enunciado:
\text{a)}\\\ -\infty,\qquad \text{b)}\\\ -1,\qquad \text{c)}\\\ -\frac{1}{2},\qquad \text{d)}\\\ 0.
Queremos descobrir qual desses valores é igual ao limite quando x tende a -\infty. Note que, para x muito negativo, tanto \sqrt{x^{2}+x} quanto x são termos de grande módulo com sinais opostos, então temos uma forma que pode ser indeterminada do tipo “grande positivo + grande negativo”. Não vamos resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Estratégia: quando aparece uma soma do tipo \sqrt{\dots}+x e x\to -\infty, é comum usar o truque da racionalização (multiplicar por conjugado) para transformar a expressão em uma razão mais manejável. Vou explicar o truque antes de aplicar.
O truque do conjugado: se temos A+B com A=\sqrt{\cdot} e B=x, multiplicamos numerador e denominador por A-B para aproveitar a identidade
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.
Isso costuma eliminar a raiz no numerador/denominador e simplificar a expressão.

Passo 3

Aplicando o conjugado à nossa expressão. Seja
L(x)=\sqrt{x^{2}+x}+x.
Multiplico numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+x}-x (isso é só uma álgebra; multiplicar por 1):
L(x)=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)}{\sqrt{x^{2}+x}-x}.
No numerador usamos a identidade do passo anterior:
\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right) = ( \sqrt{x^{2}+x} )^{2} - x^{2} = x^{2}+x - x^{2} = x.
Portanto obtemos a forma equivalente
L(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}-x}.

Passo 4

Agora simplifico a expressão observando o comportamento de \sqrt{x^{2}+x} quando x\to -\infty. Sempre que aparece \sqrt{x^{2}+(\text{algo})} é útil escrever
\sqrt{x^{2}+x}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}.
Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Logo, para x suficientemente negativo,
\sqrt{x^{2}+x}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}.
Substituindo isso no denominador de L(x):
\sqrt{x^{2}+x}-x = -x\sqrt{1+\frac{1}{x}} - x = -x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right).
Logo
L(x)=\frac{x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}.
Cancelando x (sabendo que estamos considerando x\neq 0, e no limite x\to -\infty isso vale) obtemos
L(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}.

Passo 5

Agora calculamos o limite usando continuidade das funções envolvidas. Quando x\to -\infty temos \frac{1}{x}\to 0. A função \sqrt{1+t} é contínua em t=0, então
\sqrt{1+\frac{1}{x}}\longrightarrow \sqrt{1+0}=1.
Substituindo no expressão simplificada:
\lim_{x\to -\infty}L(x)= -\frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe e vale -\tfrac{1}{2}.

Resposta

c) -\frac{1}{2}

Exercícios relacionados