Calcule
a)
b) -1
c)
d) 0
a)
b) -1
c)
d) 0
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas pelo enunciado:
Queremos descobrir qual desses valores é igual ao limite quando
tende a
. Note que, para
muito negativo, tanto
quanto
são termos de grande módulo com sinais opostos, então temos uma forma que pode ser indeterminada do tipo “grande positivo + grande negativo”. Não vamos resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Estratégia: quando aparece uma soma do tipo
e
, é comum usar o truque da racionalização (multiplicar por conjugado) para transformar a expressão em uma razão mais manejável. Vou explicar o truque antes de aplicar.
O truque do conjugado: se temos
com
e
, multiplicamos numerador e denominador por
para aproveitar a identidade
Isso costuma eliminar a raiz no numerador/denominador e simplificar a expressão.
Passo 3
Aplicando o conjugado à nossa expressão. Seja
Multiplico numerador e denominador por
(isso é só uma álgebra; multiplicar por 1):
No numerador usamos a identidade do passo anterior:
Portanto obtemos a forma equivalente
Passo 4
Agora simplifico a expressão observando o comportamento de
quando
. Sempre que aparece
é útil escrever
Como
, temos
. Logo, para
suficientemente negativo,
Substituindo isso no denominador de
:
Logo
Cancelando
(sabendo que estamos considerando
, e no limite
isso vale) obtemos
Passo 5
Agora calculamos o limite usando continuidade das funções envolvidas. Quando
temos
. A função
é contínua em
, então
Substituindo no expressão simplificada:
Portanto o limite existe e vale
.
Resposta
c)