QUESTAO 45 - Considere uma partícula de massa m, que se move com velocidade v_{0}, e realiza uma collsāo inelástica unidimensional com outra particula de massa M, inicialmente em repouso. O coeficiente de restituição do material constituinte das partículas é denotado por \epsilon. Considerando que a razão das massas das partículas é M / m=\lambda, analise as assertivas abaixo:
I. A velocidade da partícula de massa m após a colisão é v=v_{0}(1-\epsilon \lambda) /(1+\lambda).
II. A velocidade da partícula de massa M após a colisão é V=v_{0}(1+\epsilon) /(1+\lambda).
III. A razão entre a energia cinética adquirida pela partícula de massa M e a energia cinética inicial da partícula de massa m é \lambda(\epsilon+1) /(\lambda+1).
Quais estão corretas?
A) Apenas I.
B) Apenas II.
C) Apenas III.
D) Apenas I e II.
E) I, II e III.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão unidimensional entre uma partícula de massa m, com velocidade inicial v_{0}, e outra de massa M em repouso. O coeficiente de restituição é \epsilon e definimos \lambda = M/m. Para resolver, vamos usar conservação de quantidade de movimento e a definição do coeficiente de restituição.

Passo 2

Escrevemos conservação de quantidade de movimento antes e depois da colisão:
m\,v_{0} + M\cdot 0 \;=\; m\,v + M\,V.
Dividindo tudo por m, obtemos
v_{0} = v + \lambda\,V.

Passo 3

A definição do coeficiente de restituição diz que a velocidade relativa pós-colisão é a negativa da velocidade relativa pré-colisão vezes \epsilon\): \[V - v = -\,\epsilon\,(0 - v_{0}) \quad\Longrightarrow\quad V - v = \epsilon\,v_{0}.
Assim formamos o sistema para v e V:
\begin{cases} v + \lambda\,V = v_{0},\\\\ -V + v = -\epsilon\,v_{0}. \end{cases}
Resolvendo por soma, somamos as duas equações para eliminar (V]:
(1+\lambda)\,v = v_{0}(1-\epsilon\,\lambda) \quad\Longrightarrow\quad v = v_{0}\,\frac{1-\epsilon\,\lambda}{1+\lambda}.
Logo a assertiva I está correta.

Passo 4

Para achar V, isolamos em \;v_{0} = v + \lambda V:
\lambda\,V = v_{0} - v = v_{0} - v_{0}\,\frac{1-\epsilon\,\lambda}{1+\lambda} = v_{0}\,\frac{(1+\lambda)-(1-\epsilon\,\lambda)}{1+\lambda} = v_{0}\,\frac{\lambda + \epsilon\,\lambda}{1+\lambda} = v_{0}\,\lambda\,\frac{1+\epsilon}{1+\lambda}.
Divide por \lambda:
V = v_{0}\,\frac{1+\epsilon}{1+\lambda}.
Logo a assertiva II está correta.

Passo 5

A energia cinética inicial da massa m é
K_{\text{inicial}} = \tfrac12\,m\,v_{0}^{2}.
A energia cinética final de M é
K_{M} = \tfrac12\,M\,V^{2} = \tfrac12\,m\,\lambda \,\Bigl(v_{0}\,\tfrac{1+\epsilon}{1+\lambda}\Bigr)^{2} = \tfrac12\,m\,v_{0}^{2}\,\frac{\lambda\,(1+\epsilon)^{2}}{(1+\lambda)^{2}}.
A razão pedida seria
\frac{K_{M}}{K_{\text{inicial}}} = \frac{\lambda\,(1+\epsilon)^{2}}{(1+\lambda)^{2}},
que difere da fórmula dada em III (faltou o quadrado). Portanto III está incorreta.

Resposta

Apenas I e II, ou seja, alternativa D.

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