QUESTAO 45 - Considere uma partícula de massa m, que se move com velocidade v_{0}, e realiza uma collsāo inelástica unidimensional com outra particula de massa M, inicialmente em repouso. O coeficiente de restituição do material constituinte das partículas é denotado por \epsilon. Considerando que a razão das massas das partículas é M / m=\lambda, analise as assertivas abaixo:
I. A velocidade da partícula de massa m após a colisão é v=v_{0}(1-\epsilon \lambda) /(1+\lambda).
II. A velocidade da partícula de massa M após a colisão é V=v_{0}(1+\epsilon) /(1+\lambda).
III. A razão entre a energia cinética adquirida pela partícula de massa M e a energia cinética inicial da partícula de massa m é \lambda(\epsilon+1) /(\lambda+1).
Quais estão corretas?
A) Apenas I.
B) Apenas II.
C) Apenas III.
D) Apenas I e II.
E) I, II e III.
Passo 1
O enunciado trata de uma colisão unidimensional entre uma partícula de massa m, com velocidade inicial v_{0}, e outra de massa M em repouso. O coeficiente de restituição é \epsilon e definimos \lambda = M/m. Para resolver, vamos usar conservação de quantidade de movimento e a definição do coeficiente de restituição.
Passo 2
Escrevemos conservação de quantidade de movimento antes e depois da colisão:
m\,v_{0} + M\cdot 0 \;=\; m\,v + M\,V.
Dividindo tudo por m, obtemos
v_{0} = v + \lambda\,V.
Passo 3
A definição do coeficiente de restituição diz que a velocidade relativa pós-colisão é a negativa da velocidade relativa pré-colisão vezes \epsilon\):
\[V - v = -\,\epsilon\,(0 - v_{0}) \quad\Longrightarrow\quad V - v = \epsilon\,v_{0}.
Assim formamos o sistema para v e V:
\begin{cases} v + \lambda\,V = v_{0},\\\\ -V + v = -\epsilon\,v_{0}. \end{cases}
Resolvendo por soma, somamos as duas equações para eliminar (V]: (1+\lambda)\,v = v_{0}(1-\epsilon\,\lambda) \quad\Longrightarrow\quad v = v_{0}\,\frac{1-\epsilon\,\lambda}{1+\lambda}.
Logo a assertiva I está correta.
Passo 4
Para achar V, isolamos em \;v_{0} = v + \lambda V: