QUESTÃO 49 - Em um recipiente de capacidade térmica desprezível e isolado termicamente, uma quantidade de água de massa m_{A}=80 \mathrm{~g} encontra-se inicialmente a uma temperatura inicial T_{A}=60^{\circ} \mathrm{C}. Um cubo de gelo com massa m_{B}=20 \mathrm{~g} a T_{0}=0^{\circ} \mathrm{C} é introduzido no interior do recipiente. Sabe-se que o calor específico da água é c \neq 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} e o calor latente de fusão do gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} é L=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Qual é a variação de entropia total do sistema ao atingir o equilíbrio térmico em unidades de cal \cdot \mathrm{K}^{-1} ?
A) 20 \ln \left(\frac{305}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{305}\right)
B) 20 \ln \left(\frac{321}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{321}\right)
C) \frac{8000}{273}+100 \ln \left(\frac{323}{273}\right)-100 \ln \left(\frac{373}{323}\right)
D) \frac{1600}{273}+20 \ln \left(\frac{321}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{321}\right)
Е) \frac{1600}{273}+20 \ln \left(\frac{305}{273}\right)-80 \ln \left(\frac{333}{305}\right)

Passo 1

O enunciado trata de mistura térmica sem trocas de calor com o ambiente, em que temos água quente de massa m_A=80\,\mathrm{g} a T_A=60^\circ\mathrm{C} e um cubo de gelo de massa m_B=20\,\mathrm{g} a T_0=0^\circ\mathrm{C}. O objetivo é calcular a variação total de entropia do sistema ao atingir o equilíbrio térmico, usando a definição
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}
e o princípio da conservação de energia (calorimetria).

Passo 2

Determinar a temperatura de equilíbrio T_f pela conservação de energia. A água quente libera
Q_{\rm lib} \;=\; m_A\,c\,(T_A - T_f)
e o gelo absorve calor para fundir e, depois, para aquecer a água resultante:
Q_{\rm abs} \;=\; m_B\,L \;+\; m_B\,c\,(T_f - 0^\circ\mathrm{C}).
Igualando Q_{\rm lib}=Q_{\rm abs} com c=1\,\mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C} e L=80\,\mathrm{cal/g}:
80\,(60 - T_f) \;=\; 20\cdot80 \;+\;20\,T_f \quad\Longrightarrow\quad 4800 - 80T_f =1600 +20T_f \quad\Longrightarrow\quad T_f =32^\circ\mathrm{C}.
Em kelvin, T_f=305\:\mathrm{K}.

Passo 3

Calcular a variação de entropia da água quente ao resfriar de T_A=333\:\mathrm{K} para T_f=305\:\mathrm{K}:
\Delta S_{A} = m_A\,c \int_{T_f}^{T_A}\frac{dT}{T} =80\cdot1\;\ln\!\Bigl(\frac{305}{333}\Bigr) =80\,\ln\!\Bigl(\frac{305}{333}\Bigr).

Passo 4

Calcular a variação de entropia do cubo de gelo, em duas etapas:
  1. Fusão isoterma a 273\:\mathrm{K}:
\Delta S_{\rm fus} = \frac{m_B\,L}{273} = \frac{20\cdot80}{273} = \frac{1600}{273}.
  1. Aquecimento da água fundida de 273\:\mathrm{K} a 305\:\mathrm{K}:
\Delta S_{\rm aquec} = m_B\,c \int_{273}^{305}\frac{dT}{T} =20\cdot1\;\ln\!\Bigl(\frac{305}{273}\Bigr).
Somando:
\Delta S_{B} = \frac{1600}{273} +20\,\ln\!\Bigl(\frac{305}{273}\Bigr).

Passo 5

Somando as contribuições e escrevendo 80\ln\!\bigl(\tfrac{305}{333}\bigr)=-80\ln\!\bigl(\tfrac{333}{305}\bigr):
\Delta S_{\rm total} = \Delta S_A + \Delta S_B = \frac{1600}{273} +20\,\ln\!\Bigl(\frac{305}{273}\Bigr) -80\,\ln\!\Bigl(\frac{333}{305}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1600}{273}+20\ln\!\Bigl(\tfrac{305}{273}\Bigr)-80\ln\!\Bigl(\tfrac{333}{305}\Bigr) \quad(alternativa E)

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