QUESTÃO 47 - Se a, b e c são raízes da equação polinomial x^{3} \mp 3 x^{2}+4 x-2=0, é correto afirmar que a^{2}+b^{2}+c^{2} é igual a:
A) 1 / 8.
B) 1 / 4.
C) 1 / 2.
D) 1 .
E) 2 .

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
x^{3}\mp 3x^{2}+4x-2=0
cuja incógnita é x e cujas raízes são a,b,c. Queremos calcular
a^{2}+b^{2}+c^{2}.
O conteúdo necessário é usar as relações de Viète para somas de raízes e produtos de raízes de um polinômio.

Passo 2

Para um polinômio genérico
x^{3}+p\,x^{2}+q\,x+r=0
as relações de Viète dizem que
a+b+c=-p,\quad ab+ac+bc=q,\quad abc=-r.

Passo 3

No nosso caso, reescrevemos
x^{3}\mp 3x^{2}+4x-2=0
no formato x^{3}+p\,x^{2}+q\,x+r=0. Assim,
p=\mp 3, \quad q=4.
Logo
a+b+c=-p=\pm 3, \quad ab+ac+bc=q=4.

Passo 4

Usamos a identidade
a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc).
Substituindo:
(a+b+c)^{2}=(\pm 3)^{2}=9, \quad 2(ab+ac+bc)=2\cdot 4=8,
portanto
a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-8=1.

Resposta

Exercícios relacionados