Questão 46 (Escola Naval - 2019). Quantos são os anagramas da palavra MARINHA, em que somente uma vogal apareça em sua posição de origem?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra
têm somente uma vogal aparecendo em sua posição de origem (ou seja, exatamente uma das vogais fica na mesma casa em que está na palavra original).
Informações dadas e observações que vamos usar:
- A palavra original é
. Vou numerar as posições de a : - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
:
- posição
- As vogais são nas posições
, e (na original: ). - A letra
aparece duas vezes (repetida); as demais letras são distintas. - Preciso contar anagramas (permutações das letras) em que exatamente uma entre as condições abaixo ocorre:
-
: a posição contém (mesma vogal que estava lá originalmente); -
: a posição contém ; -
: a posição contém .
-
- A contagem deve considerar as duas
idênticas (ou seja, permutações de um multiconjunto).
Passo 2
Estratégia de contagem (explicada de forma simples): vou contar quantos anagramas satisfazem exatamente um dos eventos
,
ou
. Isso é
Para cada caso “só” eu fixo a vogal correta na posição indicada e conto as permutações dos demais caracteres, impondo que as outras duas posições de vogais não contenham a vogal original nelas. Para contar permutações com letras repetidas uso a regra básica: o número de permutações de
objetos com repetições é
.
Vou calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Cálculo de
— caso em que somente a vogal da posição
(
) fica em seu lugar:
- Fixo
na posição . Sobram as letras para preencher as posições restantes . Essas letras têm duas , logo o total sem restrição é - Mas precisamos que nas posições
e NÃO apareça . Vou contar quantas dessas permutações têm em ou em e subtrair. - Permutações com
em : fixo uma em ; restam em posições: . - Permutações com
em : também . - Permutações com
em ambas e : fixo as duas em e ; restam em posições: . - Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número com
em ou é .
- Permutações com
- Assim, as permutações em que nem
nem têm são
Portanto
.
Passo 4
Cálculo de
— caso em que somente a vogal da posição
(
) fica em seu lugar:
- Fixo uma
em . Sobram as letras (agora apenas uma restante) para preencher as posições . Sem restrição, o total é - Agora imposto as proibições: posição
NÃO pode conter e posição NÃO pode conter . - Permutações com
em : fixo em ; resto em posições: . - Permutações com
em : fixo em ; resto em posições: . - Interseção (pos4=
e pos7= ): fixo ambos; resto em posições: . - Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número com pos4=
ou pos7= é .
- Permutações com
- Logo as permutações válidas (nem pos4=
nem pos7= ) são
Portanto
.
Passo 5
Cálculo de
— caso em que somente a vogal da posição
(
) fica em seu lugar:
- Por simetria com o caso de
(as posições e ocupadas por são equivalentes porque as duas são idênticas), o cálculo é o mesmo que em Passo 4. Mas para ser explícito: - Fixo uma
em . Sobram para : . - Restrições: pos2 ≠
e pos4 ≠ . Contagens das configurações proibidas: como antes, levando a .
Portanto.
Passo 6
Somando os três casos (exatamente uma vogal na posição correta):
Como checagem rápida: usando inclusão-exclusão global com
,
,
, interseções de pares
e interseção tripla
, a fórmula para “exatamente uma” dá
o que confirma o resultado anterior.
Resposta
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