Questão 46 (Escola Naval - 2019). Quantos são os anagramas da palavra MARINHA, em que somente uma vogal apareça em sua posição de origem?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra \text{MARINHA} têm somente uma vogal aparecendo em sua posição de origem (ou seja, exatamente uma das vogais fica na mesma casa em que está na palavra original).
Informações dadas e observações que vamos usar:
  • A palavra original é \text{MARINHA}. Vou numerar as posições de 1 a 7:
    • posição 1: \text{M}
    • posição 2: \text{A}
    • posição 3: \text{R}
    • posição 4: \text{I}
    • posição 5: \text{N}
    • posição 6: \text{H}
    • posição 7: \text{A}
  • As vogais são nas posições 2, 4 e 7 (na original: \text{A},\text{I},\text{A}).
  • A letra \text{A} aparece duas vezes (repetida); as demais letras são distintas.
  • Preciso contar anagramas (permutações das letras) em que exatamente uma entre as condições abaixo ocorre:
    • E_2: a posição 2 contém \text{A} (mesma vogal que estava lá originalmente);
    • E_4: a posição 4 contém \text{I};
    • E_7: a posição 7 contém \text{A}.
  • A contagem deve considerar as duas \text{A} idênticas (ou seja, permutações de um multiconjunto).

Passo 2

Estratégia de contagem (explicada de forma simples): vou contar quantos anagramas satisfazem exatamente um dos eventos E_2, E_4 ou E_7. Isso é
\#(\text{exatamente 1 vogal na posição correta})=\#(E_2\text{ só})+\#(E_4\text{ só})+\#(E_7\text{ só}).çãóóó
Para cada caso “só” eu fixo a vogal correta na posição indicada e conto as permutações dos demais caracteres, impondo que as outras duas posições de vogais não contenham a vogal original nelas. Para contar permutações com letras repetidas uso a regra básica: o número de permutações de n objetos com repetições é \dfrac{n!}{\text{produto das fatoriais das multiplicidades}}.
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Cálculo de \#(E_4\text{ só})ó — caso em que somente a vogal da posição 4 ( \text{I}) fica em seu lugar:
  • Fixo \text{I} na posição 4. Sobram as letras \{\text{M},\text{A},\text{A},\text{R},\text{N},\text{H}\} para preencher as 6 posições restantes (1,2,3,5,6,7). Essas 6 letras têm duas \text{A}, logo o total sem restrição é \frac{6!}{2!}=360.
  • Mas precisamos que nas posições 2 e 7 NÃO apareça \text{A}. Vou contar quantas dessas 360 permutações têm \text{A} em 2 ou em 7 e subtrair.
    • Permutações com \text{A} em 2: fixo uma \text{A} em 2; restam \{\text{M},\text{A},\text{R},\text{N},\text{H}\} em 5 posições: 5!=120.
    • Permutações com \text{A} em 7: também 120.
    • Permutações com \text{A} em ambas 2 e 7: fixo as duas \text{A} em 2 e 7; restam \{\text{M},\text{R},\text{N},\text{H}\} em 4 posições: 4!=24.
    • Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número com \text{A} em 2 ou 7 é 120+120-24=216.
  • Assim, as permutações em que nem 2 nem 7 têm \text{A} são 360-216=144.
Portanto \#(E_4\text{ só})=144ó.

Passo 4

Cálculo de \#(E_2\text{ só})ó — caso em que somente a vogal da posição 2 ( \text{A}) fica em seu lugar:
  • Fixo uma \text{A} em 2. Sobram as letras \{\text{M},\text{A},\text{R},\text{I},\text{N},\text{H}\} (agora apenas uma \text{A} restante) para preencher as posições 1,3,4,5,6,7. Sem restrição, o total é 6!=720.
  • Agora imposto as proibições: posição 4 NÃO pode conter \text{I} e posição 7 NÃO pode conter \text{A}.
    • Permutações com \text{I} em 4: fixo \text{I} em 4; resto em 5 posições: 5!=120.
    • Permutações com \text{A} em 7: fixo \text{A} em 7; resto em 5 posições: 5!=120.
    • Interseção (pos4= \text{I} e pos7= \text{A}): fixo ambos; resto em 4 posições: 4!=24.
    • Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número com pos4= \text{I} ou pos7= \text{A} é 120+120-24=216.
  • Logo as permutações válidas (nem pos4= \text{I} nem pos7= \text{A}) são 720-216=504.
Portanto \#(E_2\text{ só})=504ó.

Passo 5

Cálculo de \#(E_7\text{ só})ó — caso em que somente a vogal da posição 7 ( \text{A}) fica em seu lugar:
  • Por simetria com o caso de E_2 (as posições 2 e 7 ocupadas por \text{A} são equivalentes porque as duas \text{A} são idênticas), o cálculo é o mesmo que em Passo 4. Mas para ser explícito:
  • Fixo uma \text{A} em 7. Sobram \{\text{M},\text{A},\text{R},\text{I},\text{N},\text{H}\} para 1,2,3,4,5,6: 6!=720.
  • Restrições: pos2 ≠ \text{A} e pos4 ≠ \text{I}. Contagens das configurações proibidas: 120,120,24 como antes, levando a 720-216=504.
    Portanto \#(E_7\text{ só})=504ó.

Passo 6

Somando os três casos (exatamente uma vogal na posição correta):
\#(E_2\text{ só})+\#(E_4\text{ só})+\#(E_7\text{ só})=504+144+504=1152.óóó
Como checagem rápida: usando inclusão-exclusão global com |E_2|=720, |E_4|=360, |E_7|=720, interseções de pares =120 e interseção tripla =24, a fórmula para “exatamente uma” dá
(720+360+720)-2(120+120+120)+3\cdot 24=1152,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

1152

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