Questão 45. Um conjunto
tem 3 elementos e o conjunto
tem 5 elementos. Pergunta-se:
a) quantas são as funções
? b) quantas são as funções injetoras
?
a) quantas são as funções
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- O conjunto
tem elementos. - O conjunto
tem elementos. - Perguntas:
(a) Quantas são as funções?
(b) Quantas são as funções injetoras?
Passo 2
Entendendo exatamente o que significa contar todas as funções
. Uma função é uma regra que, para cada elemento de
, associa exatamente um elemento de
. Como
tem
elementos distintos, para cada um desses elementos temos que escolher uma imagem em
. Cada escolha é independente das outras (para contar todas as funções, permitimos repetições de imagens). Usamos o princípio multiplicativo (regra do produto): se há
maneiras de fazer a escolha 1,
maneiras de fazer a escolha 2, etc., o total é o produto dessas quantidades.
Aplicando isso ao nosso caso: para o primeiro elemento de
há
opções de imagem em
; para o segundo elemento também
opções; para o terceiro elemento também
opções. Portanto o número total de funções é
Calculando:
Passo 3
Agora vamos contar apenas as funções injetoras. Lembrete didático: uma função é injetora (ou injetiva) se elementos distintos de
têm imagens distintas em
. Ou seja, não podemos repetir a mesma imagem para dois elementos diferentes de
. Isso muda a contagem porque as escolhas não são mais independentes com repetição; a cada escolha válida o conjunto de opções diminui.
Contagem sequencial das injetoras (usando a regra do produto com redução das opções):
- Para o primeiro elemento de
há escolhas possíveis. - Após escolher a imagem do primeiro, para o segundo elemento só restam
elementos disponíveis em (não podemos repetir). - Após essas duas escolhas, para o terceiro elemento restam
opções.
Multiplicando as possibilidades:
Passo 4
Forma alternativa (fórmula de permutação): o número de injeções de um conjunto de tamanho
em um conjunto de tamanho
(com
) é o número de maneiras de escolher e ordenar
imagens distintas dentre
, que é
Aqui
e
, então
o que coincide com a conta anterior.
Passo 5
Pequeno cheque de coerência: o número de injetoras
é menor que o número total de funções
, como deve ser (injeções são um subconjunto das funções). Se
tivesse
elementos e quiséssemos bijeções então o total seria
, para comparação de ordens de grandeza.
Resposta
(a)
(b)
(b)