Questão 45. Um conjunto A tem 3 elementos e o conjunto B tem 5 elementos. Pergunta-se:
a) quantas são as funções f: A \rightarrow B ? b) quantas são as funções injetoras f: A \rightarrow B ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • O conjunto A tem 3 elementos.
  • O conjunto B tem 5 elementos.
  • Perguntas:
    (a) Quantas são as funções f: A \rightarrow B?
    (b) Quantas são as funções injetoras f: A \rightarrow B?

Passo 2

Entendendo exatamente o que significa contar todas as funções f: A \to B. Uma função é uma regra que, para cada elemento de A, associa exatamente um elemento de B. Como A tem 3 elementos distintos, para cada um desses elementos temos que escolher uma imagem em B. Cada escolha é independente das outras (para contar todas as funções, permitimos repetições de imagens). Usamos o princípio multiplicativo (regra do produto): se há m maneiras de fazer a escolha 1, n maneiras de fazer a escolha 2, etc., o total é o produto dessas quantidades.
Aplicando isso ao nosso caso: para o primeiro elemento de A 5 opções de imagem em B; para o segundo elemento também 5 opções; para o terceiro elemento também 5 opções. Portanto o número total de funções é
5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3}.
Calculando:
5^{3}=125.

Passo 3

Agora vamos contar apenas as funções injetoras. Lembrete didático: uma função é injetora (ou injetiva) se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Ou seja, não podemos repetir a mesma imagem para dois elementos diferentes de A. Isso muda a contagem porque as escolhas não são mais independentes com repetição; a cada escolha válida o conjunto de opções diminui.
Contagem sequencial das injetoras (usando a regra do produto com redução das opções):
  • Para o primeiro elemento de A 5 escolhas possíveis.
  • Após escolher a imagem do primeiro, para o segundo elemento só restam 4 elementos disponíveis em B (não podemos repetir).
  • Após essas duas escolhas, para o terceiro elemento restam 3 opções.
    Multiplicando as possibilidades:
5\cdot 4\cdot 3 = 60.

Passo 4

Forma alternativa (fórmula de permutação): o número de injeções de um conjunto de tamanho k em um conjunto de tamanho n (com n\ge k) é o número de maneiras de escolher e ordenar k imagens distintas dentre n, que é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui n=5 e k=3, então
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60,
o que coincide com a conta anterior.

Passo 5

Pequeno cheque de coerência: o número de injetoras 60 é menor que o número total de funções 125, como deve ser (injeções são um subconjunto das funções). Se A tivesse 5 elementos e quiséssemos bijeções então o total seria 5!=120, para comparação de ordens de grandeza.

Resposta

(a) 125
(b) 60

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