Questão 43 (ENA-PROFMAT-2018). Quantos números distintos de 8 dígitos é possível formar usando dois algarismos 1 e seis algarismos 2 ?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números distintos de 8 dígitos é possível formar usando dois algarismos 1 e seis algarismos 2?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número terá exatamente
dígitos. - Os dígitos disponíveis e suas quantidades são: dois algarismos
e seis algarismos . - Todos os dígitos são
ou (não há zeros nem outros dígitos).
O que se pergunta:
- Contar quantos números diferentes (ou seja, quantas sequências distintas de
dígitos) podem ser formadas com precisamente duas ocorrências de e seis ocorrências de .
Passo 2
Ideia básica (sem calcular ainda): cada número de
dígitos corresponde a uma disposição dos
símbolos em
posições. Se todos os símbolos fossem distintos, o número de disposições seria
. Aqui, porém, alguns símbolos são idênticos (os dois
são indistinguíveis entre si; os seis
também), então precisamos ajustar essa contagem para não contar várias vezes a mesma sequência idêntica.
Explicando o conceito de fatorial: para um inteiro positivo
, o fatorial
é definido por
Por exemplo,
.
Passo 3
Por que dividir por
e por
?
Uma forma de raciocinar: imagine que, temporariamente, etiquetamos os dois como
e
e os seis
como
. Com essas etiquetas todos os
símbolos seriam distintos, e o número de permutações seria
. Mas as etiquetas são artificiais: permutar entre si as etiquetas dos
não gera um novo número (pois
e
são o mesmo dígito
); existem
permutações dessas etiquetas que levam à mesma sequência não etiquetada. Do mesmo modo, há
permutações das etiquetas dos
que não alteram a sequência real. Então devemos dividir por esses fatores para eliminar o sobrecontagem. Portanto o número desejado é
Uma forma de raciocinar: imagine que, temporariamente, etiquetamos os dois
Passo 4
Cálculo e simplificação: vamos avaliar
Assim obtemos
números distintos.
Passo 5
Interpretação alternativa (mesma resposta, caminho mais curto): escolher as posições das duas ocorrências de
entre as
posições possíveis. O número de maneiras de escolher
posições dentre
é o coeficiente binomial
que, como vimos, vale
. Esse raciocínio é frequentemente mais direto em provas: “escolho onde colocar os
; os
ocupam o resto”.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia: se tivéssemos
dígitos com dois
e um
, o total seria
e as sequências seriam
. No problema original o princípio é o mesmo, só com números maiores.
Força aí — você já sabe o método: contar permutações de multiconjuntos ou escolher posições para os elementos repetidos.