Questão 43 (ENA-PROFMAT-2018). Quantos números distintos de 8 dígitos é possível formar usando dois algarismos 1 e seis algarismos 2 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números distintos de 8 dígitos é possível formar usando dois algarismos 1 e seis algarismos 2?”
Informações dadas:
  • O número terá exatamente 8 dígitos.
  • Os dígitos disponíveis e suas quantidades são: dois algarismos 1 e seis algarismos 2.
  • Todos os dígitos são 1 ou 2 (não há zeros nem outros dígitos).
O que se pergunta:
  • Contar quantos números diferentes (ou seja, quantas sequências distintas de 8 dígitos) podem ser formadas com precisamente duas ocorrências de 1 e seis ocorrências de 2.

Passo 2

Ideia básica (sem calcular ainda): cada número de 8 dígitos corresponde a uma disposição dos 8 símbolos em 8 posições. Se todos os símbolos fossem distintos, o número de disposições seria 8!. Aqui, porém, alguns símbolos são idênticos (os dois 1 são indistinguíveis entre si; os seis 2 também), então precisamos ajustar essa contagem para não contar várias vezes a mesma sequência idêntica.
Explicando o conceito de fatorial: para um inteiro positivo n, o fatorial n! é definido por
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Por exemplo, 8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.

Passo 3

Por que dividir por 2! e por 6!?
Uma forma de raciocinar: imagine que, temporariamente, etiquetamos os dois 1 como 1_a e 1_b e os seis 2 como 2_1,2_2,\dots,2_6. Com essas etiquetas todos os 8 símbolos seriam distintos, e o número de permutações seria 8!. Mas as etiquetas são artificiais: permutar entre si as etiquetas dos 1 não gera um novo número (pois 1_a e 1_b são o mesmo dígito 1); existem 2! permutações dessas etiquetas que levam à mesma sequência não etiquetada. Do mesmo modo, há 6! permutações das etiquetas dos 2 que não alteram a sequência real. Então devemos dividir por esses fatores para eliminar o sobrecontagem. Portanto o número desejado é
\frac{8!}{2!\,6!}.

Passo 4

Cálculo e simplificação: vamos avaliar
\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\cdot7\cdot6!}{(2\cdot1)\cdot6!}=\frac{8\cdot7}{2}=4\cdot7=28.
Assim obtemos 28 números distintos.

Passo 5

Interpretação alternativa (mesma resposta, caminho mais curto): escolher as posições das duas ocorrências de 1 entre as 8 posições possíveis. O número de maneiras de escolher 2 posições dentre 8 é o coeficiente binomial
\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!},
que, como vimos, vale 28. Esse raciocínio é frequentemente mais direto em provas: “escolho onde colocar os 1; os 2 ocupam o resto”.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia: se tivéssemos 3 dígitos com dois 1 e um 2, o total seria
\frac{3!}{2!\,1!}=3,
e as sequências seriam 112,121,211. No problema original o princípio é o mesmo, só com números maiores.
Força aí — você já sabe o método: contar permutações de multiconjuntos ou escolher posições para os elementos repetidos.

Resposta

\;28

Exercícios relacionados