Questão 47. O valor de
é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede o valor de
. Informações dadas: a expressão interior é
e depois se toma a raiz quarta dessa potência. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro conceito importante: transformar radicais em potências de expoente fracionário. Para qualquer número positivo
e inteiro
,
Isto significa, por exemplo, que
e
. Vou usar isso para reescrever as raízes como potências, que manipulam mais facilmente.
Passo 3
Reescrevendo a parte
como potência, temos
Então o produto
fica
Agora uso a propriedade das potências com mesma base: multiplicar potências de mesma base corresponde a somar expoentes. Escrevo
como
para ficar claro:
Passo 4
Calculo a soma dos expoentes:
Portanto
Isso mostra que a expressão interior pode ser vista como
.
Passo 5
Próximo conceito importante: potência de potência. Para qualquer
e expoentes
e
,
Aplicando isso a
, obtemos
Logo
.
Passo 6
Agora aplicamos a raiz quarta sobre
. Usando
, temos
De novo usando a regra da potência de potência,
Passo 7
Interpretando
como radical, usamos que
. Assim
Portanto a expressão original é igual a
.
Passo 8
Para checar contra as alternativas, escrevo-as em forma de potência
:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
A expressão que encontramos foi , que corresponde exatamente à alternativa (a).
(a)
(b)
(c)
(d)
A expressão que encontramos foi
Resposta
(a)