Questão 47. O valor de \sqrt[4]{(2 \sqrt{2})^{3}} é
a) \sqrt[8]{2^{9}}
b) \sqrt[4]{2^{9}}
c) \sqrt[4]{2^{5}}
d) \sqrt{2^{9}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \sqrt[4]{(2 \sqrt{2})^{3}}. Informações dadas: a expressão interior é (2 \sqrt{2})^{3} e depois se toma a raiz quarta dessa potência. As alternativas são:
(a) \sqrt[8]{2^{9}}
(b) \sqrt[4]{2^{9}}
(c) \sqrt[4]{2^{5}}
(d) \sqrt{2^{9}}

Passo 2

Primeiro conceito importante: transformar radicais em potências de expoente fracionário. Para qualquer número positivo a e inteiro n>0,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Isto significa, por exemplo, que \sqrt{a}=a^{1/2} e \sqrt[4]{a}=a^{1/4}. Vou usar isso para reescrever as raízes como potências, que manipulam mais facilmente.

Passo 3

Reescrevendo a parte \sqrt{2} como potência, temos
\sqrt{2}=2^{1/2}.
Então o produto 2\sqrt{2} fica
2\sqrt{2}=2\cdot 2^{1/2}.
Agora uso a propriedade das potências com mesma base: multiplicar potências de mesma base corresponde a somar expoentes. Escrevo 2 como 2^{1} para ficar claro:
2\cdot 2^{1/2}=2^{1}\cdot 2^{1/2}=2^{1+1/2}.

Passo 4

Calculo a soma dos expoentes:
1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto
2\sqrt{2}=2^{3/2}.
Isso mostra que a expressão interior pode ser vista como (2^{3/2})^{3}.

Passo 5

Próximo conceito importante: potência de potência. Para qualquer a e expoentes b e c,
(a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}.
Aplicando isso a (2^{3/2})^{3}, obtemos
(2^{3/2})^{3}=2^{(3/2)\cdot 3}=2^{9/2}.
Logo (2\sqrt{2})^{3}=2^{9/2}.

Passo 6

Agora aplicamos a raiz quarta sobre 2^{9/2}. Usando \sqrt[4]{x}=x^{1/4}, temos
\sqrt[4]{2^{9/2}}=(2^{9/2})^{1/4}.
De novo usando a regra da potência de potência,
(2^{9/2})^{1/4}=2^{(9/2)\cdot(1/4)}=2^{9/8}.

Passo 7

Interpretando 2^{9/8} como radical, usamos que a^{m/n}=(a^{m})^{1/n}=\sqrt[n]{a^{m}}. Assim
2^{9/8}=(2^{9})^{1/8}=\sqrt[8]{2^{9}}.
Portanto a expressão original é igual a \sqrt[8]{2^{9}}.

Passo 8

Para checar contra as alternativas, escrevo-as em forma de potência 2^{\text{expoente}}:
(a) \sqrt[8]{2^{9}}=2^{9/8}.
(b) \sqrt[4]{2^{9}}=2^{9/4}.
(c) \sqrt[4]{2^{5}}=2^{5/4}.
(d) \sqrt{2^{9}}=2^{9/2}.
A expressão que encontramos foi 2^{9/8}, que corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a)

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