Questão 46. Se a=\sqrt{2} e b=\sqrt{2}-\sqrt{8}, então a / b é um número:
a) racional positivo
b) racional não inteiro
c) racional
d) irracional

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: a=\sqrt{2} e b=\sqrt{2}-\sqrt{8}. A pergunta é determinar a natureza do número a/b e escolher entre as alternativas: (a) racional positivo, (b) racional não inteiro, (c) racional, (d) irracional. Aqui vamos identificar claramente os dados e o que é pedido.

Passo 2

Vamos simplificar b. Use a propriedade de radicais para números não-negativos: \sqrt{xy}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}. Aplicando a \sqrt{8} escrevemos 8=4\cdot2, então
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Portanto
b=\sqrt{2}-\sqrt{8}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}.
Repare que aqui usamos uma fatoração simples: \sqrt{2}-2\sqrt{2}=(1-2)\sqrt{2}=-1\cdot\sqrt{2}.

Passo 3

Agora substituímos a e b na fração a/b. Temos a=\sqrt{2} e b=-\sqrt{2}, logo
\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}.
Como \sqrt{2}\neq0, podemos cancelar \sqrt{2} no numerador e denominador, obtendo
\frac{a}{b}=-1.
(Isto é apenas divisão de um número por ele mesmo, com o sinal negativo do denominador passando para o resultado.)

Passo 4

Precisamos classificar -1. Definição prática: um número é racional se pode ser expresso como \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0. Podemos escrever
-1=\frac{-1}{1},
onde -1 e 1 são inteiros e 1\neq0. Logo -1 é um número racional. Além disso, -1 é um inteiro (e é negativo), então não é um racional positivo nem um racional não inteiro. Portanto, dentre as alternativas dadas a correta é a que afirma simplesmente “racional”.

Passo 5

Resumo final do raciocínio: simplificamos b para -\sqrt{2}, calculamos \dfrac{a}{b}=-1 e classificamos -1 como número racional (e inteiro, mas negativo), o que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) racional

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