Questão 45. Se x=\sqrt{2}, então x^{6}\left(x^{4}\left(x^{2}-1\right)\right) é:
a) 4
b) 16
c) 32
d) 64

Passo 1

O enunciado dá que x=\sqrt{2} e pede o valor da expressão x^{6}\left(x^{4}\left(x^{2}-1\right)\right). As alternativas são:
a) 4
b) 16
c) 32
d) 64

Passo 2

Primeiro, vamos usar a definição de raiz quadrada. Se \,x=\sqrt{2}\,, então ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos:
x^{2}=2.
Isto é simples: a raiz quadrada de 2 é o número que, ao quadrado, dá 2.

Passo 3

Agora calcule \,x^{2}-1. Substituindo \,x^{2}=2\, temos:
x^{2}-1=2-1=1.
Explicação: foi só substituir e subtrair, nada de mistério.

Passo 4

Avalie o fator interno \,x^{4}\left(x^{2}-1\right). Como \,x^{2}-1=1\,, temos:
x^{4}\left(x^{2}-1\right)=x^{4}\cdot 1 = x^{4}.
Regra usada: multiplicar por 1 não altera o valor.

Passo 5

Agora volte à expressão inteira \,x^{6}\left(x^{4}\left(x^{2}-1\right)\right). Substituindo o que achamos no passo anterior:
x^{6}\left(x^{4}\left(x^{2}-1\right)\right)=x^{6}\cdot x^{4}.
Aqui aplicamos a regra de potências para mesma base: ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes. Ou seja, para qualquer base a e expoentes m,n vale a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.

Passo 6

Aplicando a soma de expoentes:
x^{6}\cdot x^{4}=x^{6+4}=x^{10}.
Agora usemos que x^{2}=2. Podemos reescrever x^{10} como (x^{2})^{5} (regra de potência de potência, (a^{b})^{c}=a^{bc}):
x^{10}=(x^{2})^{5}=2^{5}.

Passo 7

Finalmente calcule 2^{5}:
2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32.
Portanto a expressão vale 32, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) 32

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