Questão 48

Derivando diretamente uma vez a função: y=(a+x) \cdot \sqrt{a-x}, onde a é uma constante, obter-se-á:
A) \frac{a+2 x}{\sqrt{a+x}}
B) \frac{a-2 x}{\sqrt{a+x}}
C) \frac{a+2 x}{3 \sqrt{a-x}}
D) \frac{a+2 x}{2 \sqrt{a+x}}
E) \frac{a-3 x}{2 \sqrt{a-x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (a+x)\,\sqrt{a-x}
onde a é constante. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia (para derivar \sqrt{a-x}).

Passo 2

Definindo
u = a+x, \qquad v = (a-x)^{1/2},
temos u' = 1 e, pela regra da cadeia,
v' = \frac12\,(a-x)^{-1/2}\cdot(-1) = -\frac{1}{2\sqrt{a-x}}.
Pela regra do produto,
y' = u'v + uv' = 1\cdot\sqrt{a-x} + (a+x)\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{a-x}}\Bigr).

Passo 3

Colocando em comum denominador 2\sqrt{a-x}, obtemos
y' = \frac{2(a-x) - (a+x)}{2\sqrt{a-x}} = \frac{2a - 2x - a - x}{2\sqrt{a-x}} = \frac{a - 3x}{2\sqrt{a-x}}.

Resposta

E) \displaystyle \frac{a - 3x}{2\sqrt{a-x}}

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