Questão 48 (ITA - 2003). Sejam a, b, c e d números reais não nulos. Exprima o valor do determinante da matriz:
\left(\begin{array}{cccc} b c d & 1 & a & a^{2} \\\ a c d & 1 & b & b^{2} \\\ a b d & 1 & c & c^{2} \\\ a b c & 1 & d & d^{2} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá quatro números reais não nulos a,b,c,d e pede o valor do determinante da matriz
\begin{pmatrix} b c d & 1 & a & a^{2} \\\ a c d & 1 & b & b^{2} \\\ a b d & 1 & c & c^{2} \\\ a b c & 1 & d & d^{2} \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • a,b,c,d são reais e não nulos.
  • As entradas da primeira coluna são bcd,acd,abd,abc.
  • As outras colunas são (1,1,1,1)^{T}, (a,b,c,d)^{T} e (a^{2},b^{2},c^{2},d^{2})^{T}.
    O que se pede: expressar (ou seja, encontrar) o valor do determinante dessa matriz em função de a,b,c,d.

Passo 2

Observação útil sobre a primeira coluna: se denotarmos P = abcd, então
bcd = \frac{P}{a},\quad acd=\frac{P}{b},\quad abd=\frac{P}{c},\quad abc=\frac{P}{d}.
Logo a primeira coluna é P vezes o vetor \left(\tfrac{1}{a},\tfrac{1}{b},\tfrac{1}{c},\tfrac{1}{d}\right)^{T}.
Usando a propriedade básica dos determinantes — fatorar um escalar de uma coluna — se chamarmos D o determinante solicitado, temos
D = \det\begin{pmatrix} b c d & 1 & a & a^{2} \\\ a c d & 1 & b & b^{2} \\\ a b d & 1 & c & c^{2} \\\ a b c & 1 & d & d^{2} \end{pmatrix} = P \cdot \det\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 1 & a & a^{2} \\\ \frac{1}{b} & 1 & b & b^{2} \\\ \frac{1}{c} & 1 & c & c^{2} \\\ \frac{1}{d} & 1 & d & d^{2} \end{pmatrix}.
Aqui usei: se uma coluna é multiplicada por P, o determinante é multiplicado por P.

Passo 3

Agora vamos eliminar os recíprocos \tfrac{1}{a},\tfrac{1}{b},\dots fazendo multiplicações nas linhas. Lembre que multiplicar uma linha inteira por um escalar multiplica o determinante por esse escalar. Multiplicando a primeira linha por a, a segunda por b, a terceira por c e a quarta por d, cada linha se multiplica por seu respectivo escalar, portanto o determinante da matriz dentro do produto acima é multiplicado por
a\cdot b\cdot c\cdot d = P.
Se chamarmos
D'=\det\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 1 & a & a^{2} \\\ \frac{1}{b} & 1 & b & b^{2} \\\ \frac{1}{c} & 1 & c & c^{2} \\\ \frac{1}{d} & 1 & d & d^{2} \end{pmatrix},
então após multiplicar linha i por x_i (onde x_1=a,x_2=b,x_3=c,x_4=d) obtemos
P\cdot D' = \det\begin{pmatrix} 1 & a & a^{2} & a^{3} \\\\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\\\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\\\ 1 & d & d^{2} & d^{3} \end{pmatrix}.
Portanto, voltando a D,
D = P\cdot D' = P\cdot\frac{1}{P}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & a & a^{2} & a^{3} \\\\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\\\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\\\ 1 & d & d^{2} & d^{3} \end{pmatrix}.
Aqui ocorreu uma cancelamento importante: o P fatorado da primeira coluna e o 1/P vindo da multiplicação das linhas se anulam, logo
D = \det\begin{pmatrix} 1 & a & a^{2} & a^{3} \\\\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\\\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\\\ 1 & d & d^{2} & d^{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz que restou é a matriz de Vandermonde de ordem 4, cujas linhas são (1,x,x^{2},x^{3}) para x=a,b,c,d. Há uma fórmula clássica (e muito útil) para o determinante dessa matriz: o determinante de
\begin{pmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\\\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\\\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & x_{3}^{3} \\\\ 1 & x_{4} & x_{4}^{2} & x_{4}^{3} \end{pmatrix}
é
\prod_{1\le i<j\le 4} (x_{j}-x_{i}).
Explicação curta e didática dessa fórmula: fixe x_{2},x_{3},x_{4} e veja o determinante como função polinomial em x_{1}. É um polinômio de grau no máximo 3 (porque cada entrada da primeira linha tem grau ≤3 em x_{1}). Quando x_{1}=x_{k} para k=2,3,4, duas linhas tornam-se iguais e o determinante anula-se, então x_{1}=x_{2},x_{3},x_{4} são raízes do polinômio. Assim o polinômio tem fatores (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{4}). O coeficiente líder em x_{1}^{3} é 1 (vindo da coluna x^{3}), logo o polinômio em x_{1} é exatamente (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{4}). Repetindo o argumento para cada variável e lembrando simetria, chega-se à expressão do produto sobre todos os pares (i,j) com i<j.
Aplicando isso com x_{1}=a,x_{2}=b,x_{3}=c,x_{4}=d, obtemos
D = \prod_{1\le i<j\le 4} (x_{j}-x_{i}) = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).

Passo 5

Resumo do raciocínio em poucas palavras: foi usado que a primeira coluna é P vezes (1/a,1/b,1/c,1/d)^{T}, em seguida multiplicaram-se as linhas por a,b,c,d para transformar a matriz numa Vandermonde; os fatores P cancelaram, ficando exatamente o determinante de Vandermonde, que é o produto das diferenças entre a,b,c,d.

Resposta

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

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