Questão 46. Encontre:
a) o determinante da matriz
sabendo que ela é simétrica.
a) o determinante da matriz
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o determinante da matriz
sabendo que
é simétrica. Informações dadas:
- Elementos explícitos:
, , , , , , , , . - A única pergunta: calcular
usando a condição de simetria.]
Passo 2
O que significa a matriz ser simétrica? Significa que
, isto é, cada elemento espelhado pela diagonal principal é igual. Em coordenadas:
Aplicando isso às entradas da matriz:
Portanto os valores desconhecidos ficam determinados:
,
,
. A matriz
fica
Passo 3
Vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz
. Se
uma fórmula direta (expansão pela primeira linha) é
Aqui cada expressão do tipo
é o determinante de uma submatriz
. Para um
tem-se
. Vamos usar essa fórmula aplicada à
.]
Passo 4
Identificando os
em
:
Calculemos os três determinantes
que aparecem na fórmula.
Primeiro:
Agora as multiplicações:
logo
Passo 5
Segundo determinante:
Calcule:
então
Passo 6
Terceiro determinante:
Calcule:
portanto
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do determinante
:
Substituindo os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando: