Questão 46. Encontre:
a) o determinante da matriz N=\left(\begin{array}{ccc}1 & x & 5 \\\\ 2 & 7 & -4 \\\ y & z & -3\end{array}\right) sabendo que ela é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o determinante da matriz
N=\begin{pmatrix}1 & x & 5 \\[4pt] 2 & 7 & -4 \\[4pt] y & z & -3\end{pmatrix}
sabendo que N é simétrica. Informações dadas:
  • Elementos explícitos: N_{11}=1, N_{12}=x, N_{13}=5, N_{21}=2, N_{22}=7, N_{23}=-4, N_{31}=y, N_{32}=z, N_{33}=-3.
  • A única pergunta: calcular \det(N) usando a condição de simetria.]

Passo 2

O que significa a matriz ser simétrica? Significa que N=N^{T}, isto é, cada elemento espelhado pela diagonal principal é igual. Em coordenadas:
N_{ij}=N_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Aplicando isso às entradas da matriz:
N_{12}=N_{21}\Rightarrow x=2,
N_{13}=N_{31}\Rightarrow 5=y,
N_{23}=N_{32}\Rightarrow -4=z.
Portanto os valores desconhecidos ficam determinados: x=2, y=5, z=-4. A matriz N fica
N=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\[4pt] 2 & 7 & -4 \\[4pt] 5 & -4 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3\times3. Se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix},
uma fórmula direta (expansão pela primeira linha) é
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr)-a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr)+a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Aqui cada expressão do tipo \,a_{ij}a_{kl}-a_{il}a_{kj}\, é o determinante de uma submatriz 2\times2. Para um 2\times2
\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix},
tem-se \det=ps-qr. Vamos usar essa fórmula aplicada à N.]

Passo 4

Identificando os a_{ij} em N:
a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=5,
a_{21}=2,\quad a_{22}=7,\quad a_{23}=-4,
a_{31}=5,\quad a_{32}=-4,\quad a_{33}=-3.
Calculemos os três determinantes 2\times2 que aparecem na fórmula.
Primeiro:
\Delta_1=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=7\cdot(-3)-(-4)\cdot(-4).
Agora as multiplicações:
7\cdot(-3)=-21,\qquad (-4)\cdot(-4)=16,
logo
\Delta_1=-21-16=-37.

Passo 5

Segundo determinante:
\Delta_2=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=2\cdot(-3)-(-4)\cdot5.
Calcule:
2\cdot(-3)=-6,\qquad (-4)\cdot5=-20,
então
\Delta_2=-6-(-20)=-6+20=14.

Passo 6

Terceiro determinante:
\Delta_3=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=2\cdot(-4)-7\cdot5.
Calcule:
2\cdot(-4)=-8,\qquad 7\cdot5=35,
portanto
\Delta_3=-8-35=-43.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do determinante 3\times3:
\det(N)=a_{11}\Delta_1 - a_{12}\Delta_2 + a_{13}\Delta_3.
Substituindo os valores:
\det(N)=1\cdot(-37) - 2\cdot(14) + 5\cdot(-43).
Fazendo as contas passo a passo:
1\cdot(-37)=-37,\qquad 2\cdot14=28,\qquad 5\cdot(-43)=-215.
Somando:
\det(N)=-37-28-215=-280.

Resposta

-280

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