Questão 49. Demonstre a identidade \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ x & y & z \\\ m & n & p\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a & b+2 c & c \\\ x & y+2 z & z \\\ m & n+2 p & p\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ x & y & z \\\ m & n & p \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a & b+2c & c \\\ x & y+2z & z \\\ m & n+2p & p \end{array}\right|.
As informações relevantes são apenas os nove elementos a,b,c,x,y,z,m,n,p, que são números quaisquer. A igualdade afirma que trocar a segunda coluna pela soma da segunda coluna com duas vezes a terceira coluna não altera o valor do determinante.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades fundamentais de determinantes que vou usar (explico de forma concreta e simples):
  1. Linearidade em uma coluna: se as duas primeiras colunas e a terceira coluna são fixas, o determinante é uma função linear da coluna que variar. Isso significa, para colunas C_1,C_2,C_3 e vetores u,v e escalares \alpha,\beta,
\det(C_1,\alpha u+\beta v,C_3)=\alpha\det(C_1,u,C_3)+\beta\det(C_1,v,C_3).
Intuição simples: o determinante é uma soma de produtos onde cada entrada daquela coluna entra só multiplicada por cofatores — por isso ele é linear nessa coluna. Um exemplo rápido em 2\times2: para
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
se substituir a segunda coluna por \alpha\begin{pmatrix}b_1\d_1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}b_2\d_2\end{pmatrix}, o determinante se separa linearmente.
  1. Alternância (colunas iguais dão zero): se duas colunas de um determinante são idênticas, então o determinante vale zero. Justificativa curta: trocar duas colunas altera o sinal do determinante; se as colunas são iguais, trocar não muda a matriz — logo o determinante tem de ser igual a seu próprio negativo, o que só é possível se for zero.

Passo 3

Defino as colunas originais por
C_1=\begin{pmatrix}a\x\m\end{pmatrix},\qquad C_2=\begin{pmatrix}b\y\n\end{pmatrix},\qquad C_3=\begin{pmatrix}c\z\p\end{pmatrix}.
A identidade pedida é exatamente
\det(C_1,C_2,C_3)=\det(C_1,C_2+2C_3,C_3).

Passo 4

Aplico a linearidade do determinante na segunda coluna:
\det(C_1,C_2+2C_3,C_3)=\det(C_1,C_2,C_3)+2\det(C_1,C_3,C_3).
Aqui usei que \alpha=1 e \beta=2 no enunciado da linearidade.

Passo 5

Uso a propriedade de alternância: como nas duas parcelas da direita a segunda e a terceira coluna da segunda parcela são iguais (ambas C_3), tem-se
\det(C_1,C_3,C_3)=0.
Portanto a expressão do passo anterior fica
\det(C_1,C_2+2C_3,C_3)=\det(C_1,C_2,C_3)+2\cdot 0=\det(C_1,C_2,C_3).

Passo 6

Concluo que
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ x & y & z \\\ m & n & p \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a & b+2c & c \\\ x & y+2z & z \\\ m & n+2p & p \end{array}\right|.
Como verificação rápida e motivadora, aqui vai um exemplo numérico pequeno (só para sentir o resultado): com
a=1,b=2,c=3,x=0,y=1,z=4,m=5,n=6,p=0 a primeira matriz tem determinante 1 e a segunda também tem determinante 1, conferindo a identidade.

Resposta

\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ x & y & z \\\ m & n & p\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a & b+2 c & c \\\ x & y+2 z & z \\\ m & n+2 p & p\end{array}\right|

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