As duas primeiras colunas de A são vetores nulos (todos zeros).
As terceiras e quartas colunas de A são v=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, respectivamente.
Precisamos usar propriedades de potência de matrizes e propriedades do determinante.
Passo 2
Vou calcular A^{2}. Para isso é conveniente olhar para as colunas de A. Denote as colunas de A por c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}. Observa-se que
A multiplicação A^2=A\cdot A pode ser vista pela ação de A sobre cada coluna de A: a j-ésima coluna de A^2 é A c_j.
Calcule A c_{3}. Usando as linhas de A:
a primeira linha de A é (0,0,1,0), então o produto escalar com c_{3} dá 1;
a segunda linha é (0,0,0,1), produto escalar com c_{3} dá 0;
a terceira linha repete a primeira, dá 1;
a quarta linha repete a segunda, dá 0.
Portanto
A c_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=c_{3}.
De modo análogo, calculando A c_{4} obtemos
A c_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=c_{4}.
E claramente A c_{1}=c_{1}=\mathbf{0} e A c_{2}=c_{2}=\mathbf{0} porque c_{1} e c_{2} são vetores nulos.
Assim as colunas de A^{2} coincidem com as colunas de A, i.e.
A^{2}=A.
Passo 3
Da igualdade A^{2}=A segue imediatamente, por indução simples, que para todo inteiro k\ge 1 vale
A^{k}=A.
Explicação curta do porquê: se A^{k}=A então A^{k+1}=A^{k}A=A A=A^{2}=A. Como A^{1}=A, a igualdade vale para todos os k\ge1.
Passo 4
Usando A^{k}=A para todos k\ge1, a soma definida em B é uma soma de 2006 parcelas iguais a A. Logo
B=A+A^{2}+\cdots+A^{2006}=2006\,A.
Passo 5
Agora uso uma propriedade básica do determinante: para uma matriz n\times n e um escalar c,
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Justificativa curta e didática: multiplicar todos os elementos de uma matriz por c é o mesmo que multiplicar cada linha por c; multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c; fazendo isso em todas as n linhas multiplica-se o determinante por c^{n}.
Aplicando essa propriedade com c=2006 e n=4 obtemos a relação
\det(B)=\det(2006\,A)=2006^{4}\det(A).
Passo 6
Para finalizar precisamos de \det(A). Note que a primeira e a segunda colunas de A são vetores nulos:
c_{1}=\mathbf{0},\qquad c_{2}=\mathbf{0}.
Uma matriz que tem uma coluna nula (ou duas colunas iguais, ou colunas linearmente dependentes) tem determinante zero, porque as colunas não são linearmente independentes. Logo