Questão 50. Se A=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] e B=A+A^{2}+\ldots+A^{2006}. Calcule \operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e define B:
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=A+A^{2}+\cdots+A^{2006}.
A pergunta é: calcular \det(B).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é uma matriz 4\times4.
  • As duas primeiras colunas de A são vetores nulos (todos zeros).
  • As terceiras e quartas colunas de A são v=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, respectivamente.
  • Precisamos usar propriedades de potência de matrizes e propriedades do determinante.

Passo 2

Vou calcular A^{2}. Para isso é conveniente olhar para as colunas de A. Denote as colunas de A por c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}. Observa-se que
c_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
A multiplicação A^2=A\cdot A pode ser vista pela ação de A sobre cada coluna de A: a j-ésima coluna de A^2 é A c_j.
Calcule A c_{3}. Usando as linhas de A:
  • a primeira linha de A é (0,0,1,0), então o produto escalar com c_{3} 1;
  • a segunda linha é (0,0,0,1), produto escalar com c_{3} 0;
  • a terceira linha repete a primeira, dá 1;
  • a quarta linha repete a segunda, dá 0.
Portanto
A c_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=c_{3}.
De modo análogo, calculando A c_{4} obtemos
A c_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=c_{4}.
E claramente A c_{1}=c_{1}=\mathbf{0} e A c_{2}=c_{2}=\mathbf{0} porque c_{1} e c_{2} são vetores nulos.
Assim as colunas de A^{2} coincidem com as colunas de A, i.e.
A^{2}=A.

Passo 3

Da igualdade A^{2}=A segue imediatamente, por indução simples, que para todo inteiro k\ge 1 vale
A^{k}=A.
Explicação curta do porquê: se A^{k}=A então A^{k+1}=A^{k}A=A A=A^{2}=A. Como A^{1}=A, a igualdade vale para todos os k\ge1.

Passo 4

Usando A^{k}=A para todos k\ge1, a soma definida em B é uma soma de 2006 parcelas iguais a A. Logo
B=A+A^{2}+\cdots+A^{2006}=2006\,A.

Passo 5

Agora uso uma propriedade básica do determinante: para uma matriz n\times n e um escalar c,
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Justificativa curta e didática: multiplicar todos os elementos de uma matriz por c é o mesmo que multiplicar cada linha por c; multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c; fazendo isso em todas as n linhas multiplica-se o determinante por c^{n}.
Aplicando essa propriedade com c=2006 e n=4 obtemos a relação
\det(B)=\det(2006\,A)=2006^{4}\det(A).

Passo 6

Para finalizar precisamos de \det(A). Note que a primeira e a segunda colunas de A são vetores nulos:
c_{1}=\mathbf{0},\qquad c_{2}=\mathbf{0}.
Uma matriz que tem uma coluna nula (ou duas colunas iguais, ou colunas linearmente dependentes) tem determinante zero, porque as colunas não são linearmente independentes. Logo
\det(A)=0.

Resposta

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