Questão 49

Se o resultado de um teste de matemática para 1000 alunos segue uma distribuição normal com média 7 e desvio padrão 1, então o provável número de estudantes com nota acima de 8 é:
(A) 600.
(B) 320 .
(C) 840 .
(D) 680 .
(E) 160 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informação: o resultado do teste para 1000 alunos segue uma distribuição normal com média \mu=7 e desvio padrão \sigma=1.
  • Pergunta: qual o provável número de estudantes com nota acima de 8?

Passo 2

Definir a variável aleatória e a probabilidade que precisamos calcular.
  • Seja X a nota de um aluno. Então X tem distribuição normal com média \mu=7 e desvio padrão \sigma=1, ou seja X\sim N(\mu,\sigma^2)=N(7,1^2).
  • O problema pede o número esperado de alunos com nota maior que 8. Primeiro encontramos a probabilidade de um aluno, escolhido aleatoriamente, ter nota acima de 8:
P(X>8).
  • Depois multiplicamos essa probabilidade por 1000 para obter o número esperado de alunos.

Passo 3

Padronização (o truque padrão com normal): explicar a fórmula e cada símbolo.
  • Para usar as tabelas (ou propriedades) da normal padrão, convertemos X para a variável padrão Z usando a fórmula de padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (nota),
  • \mu é a média ( \mu=7),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma=1),
  • Z tem distribuição normal padrão N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1).
  • Assim,
P(X>8)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{8-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z>\frac{8-7}{1}\right)=P(Z>1).

Passo 4

Usar a função de distribuição acumulada da normal padrão e interpretar o valor.
  • Denotando por \Phi(z)=P(Z\le z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
P(Z>1)=1-\Phi(1).
  • O valor tabelado (ou conhecido) é \Phi(1)=0,8413. Logo
P(Z>1)=1-0,8413=0,1587.
  • Interpretação: aproximadamente 15,87\% dos alunos têm nota acima de 8.

Passo 5

Converter a probabilidade em número de alunos e ajustar para as alternativas.
  • O número esperado de alunos com nota acima de 8 é
1000\times 0,1587 = 158,7.
  • Como não existem 0,7 alunos, arredonda-se para inteiro: arredondamento normal dá 159 alunos.
  • Observando as alternativas oferecidas (600,\;320,\;840,\;680,\;160), a alternativa mais próxima de 158{,}7 (ou de 159) é 160, que corresponde à letra (E).

Resposta

160 (E)

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