Questão 49
Se o resultado de um teste de matemática para 1000 alunos segue uma distribuição normal com média 7 e desvio padrão 1, então o provável número de estudantes com nota acima de 8 é:
(A) 600.
(B) 320 .
(C) 840 .
(D) 680 .
(E) 160 .
(A) 600.
(B) 320 .
(C) 840 .
(D) 680 .
(E) 160 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Informação: o resultado do teste para
alunos segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . - Pergunta: qual o provável número de estudantes com nota acima de
?
Passo 2
Definir a variável aleatória e a probabilidade que precisamos calcular.
- Seja
a nota de um aluno. Então tem distribuição normal com média e desvio padrão , ou seja . - O problema pede o número esperado de alunos com nota maior que
. Primeiro encontramos a probabilidade de um aluno, escolhido aleatoriamente, ter nota acima de :
- Depois multiplicamos essa probabilidade por
para obter o número esperado de alunos.
Passo 3
Padronização (o truque padrão com normal): explicar a fórmula e cada símbolo.
- Para usar as tabelas (ou propriedades) da normal padrão, convertemos
para a variável padrão usando a fórmula de padronização:
onde:
-
é a variável original (nota), -
é a média ( ), -
é o desvio padrão ( ), -
tem distribuição normal padrão (média e desvio padrão ). - Assim,
Passo 4
Usar a função de distribuição acumulada da normal padrão e interpretar o valor.
- Denotando por
a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
- O valor tabelado (ou conhecido) é
. Logo
- Interpretação: aproximadamente
dos alunos têm nota acima de .
Passo 5
Converter a probabilidade em número de alunos e ajustar para as alternativas.
- O número esperado de alunos com nota acima de
é
- Como não existem
alunos, arredonda-se para inteiro: arredondamento normal dá alunos. - Observando as alternativas oferecidas
, a alternativa mais próxima de (ou de ) é , que corresponde à letra (E).
Resposta
160 (E)