Questão 50
Um grupo de empresários resolve comprar uma empresa no valor de
120.000,00
40.000,00. O grupo inicial era formado por:
(A) 7 empresários.
(B) 4 empresários.
(C) 6 empresários.
(D) 3 empresários.
(E) 5 empresários.
(A) 7 empresários.
(B) 4 empresários.
(C) 6 empresários.
(D) 3 empresários.
(E) 5 empresários.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O preço total da empresa é
. - O grupo inicial tem um número inteiro de empresários, que vou chamar de
. - Inicialmente cada empresário paga a mesma parcela:
. - Depois 4 pessoas desistem, ficando
empresários, cada um pagando então . - O enunciado diz que a parcela de cada um aumentou em
com as desistências.
O que se pede: determinar o valor de
— ou seja, quantos empresários havia no grupo inicialmente — entre as alternativas dadas.
Passo 2
Vamos traduzir a frase "a cota de cada um dos outros aumentasse em
" para uma equação matemática.
A nova parcela menos a parcela antiga é igual a
. Em símbolos:
Como todos os termos têm o fator monetário
, podemos dividir por
e trabalhar só com os números:
Passo 3
Explico a ideia para resolver essa equação: é uma equação racional. Uma estratégia simples é colocar em comum denominador ou observar que a diferença das frações pode ser simplificada fatorando
. Faço isso passo a passo.
Colocando o fator
em evidência:
Agora calculo a diferença dentro dos parênteses usando um único denominador
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Simplifico a equação. Primeiro multiplico
por
:
Agora divido ambos os lados por
para simplificar:
Calculo
:
Logo obtém-se:
Isto implica
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Uso a fórmula quadrática ou fatoração. Tento fatorar: quais dois números multiplicam
e somam
? São
e
. Então:
As raízes são
e
. Como
representa número de pessoas, deve ser um inteiro positivo e além disso satisfazer
(porque depois têm de sobrar pessoas). Assim
é impossível, restando
Passo 6
Verificação rápida para ganhar confiança (bom hábito na prova): com
,
- Parcela inicial:
. - Pessoas que ficam:
. - Parcela nova:
.
Aumentou exatamente, como pedido. Está correto.
Resposta
(C) 6 empresários.