Questão 50

Um grupo de empresários resolve comprar uma empresa no valor de \mathrm{R} \ 120.000,00 cabendo a cada um deles a mesma parcela de compra. Posteriormente, 4 pessoas desistem da compra, fazendo com que a cota de cada um dos outros aumentasse em R\40.000,00. O grupo inicial era formado por:
(A) 7 empresários.
(B) 4 empresários.
(C) 6 empresários.
(D) 3 empresários.
(E) 5 empresários.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O preço total da empresa é \mathrm{R}\$\,120.000{,}00.
  • O grupo inicial tem um número inteiro de empresários, que vou chamar de \,n.
  • Inicialmente cada empresário paga a mesma parcela: \dfrac{\mathrm{R}\$\,120.000{,}00}{n}.
  • Depois 4 pessoas desistem, ficando n-4 empresários, cada um pagando então \dfrac{\mathrm{R}\$\,120.000{,}00}{\,n-4\,}.
  • O enunciado diz que a parcela de cada um aumentou em \mathrm{R}\$\,40.000{,}00 com as desistências.
O que se pede: determinar o valor de n — ou seja, quantos empresários havia no grupo inicialmente — entre as alternativas dadas.

Passo 2

Vamos traduzir a frase "a cota de cada um dos outros aumentasse em \mathrm{R}\$\,40.000{,}00" para uma equação matemática.
A nova parcela menos a parcela antiga é igual a \mathrm{R}\$\,40.000{,}00. Em símbolos:
\frac{\mathrm{R}\$\,120.000{,}00}{\,n-4\,}-\frac{\mathrm{R}\$\,120.000{,}00}{n}=\mathrm{R}\$\,40.000{,}00.
Como todos os termos têm o fator monetário \mathrm{R}\$, podemos dividir por \mathrm{R}\$ e trabalhar só com os números:
\frac{120.000}{\,n-4\,}-\frac{120.000}{n}=40.000.

Passo 3

Explico a ideia para resolver essa equação: é uma equação racional. Uma estratégia simples é colocar em comum denominador ou observar que a diferença das frações pode ser simplificada fatorando 120.000. Faço isso passo a passo.
Colocando o fator 120.000 em evidência:
120.000\left(\frac{1}{\,n-4\,}-\frac{1}{n}\right)=40.000.
Agora calculo a diferença dentro dos parênteses usando um único denominador n(n-4):
\frac{1}{\,n-4\,}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n-4)}{n(n-4)}=\frac{4}{n(n-4)}.
Substituindo de volta:
120.000\cdot\frac{4}{n(n-4)}=40.000.

Passo 4

Simplifico a equação. Primeiro multiplico 120.000 por 4:
\frac{480.000}{n(n-4)}=40.000.
Agora divido ambos os lados por 40.000 para simplificar:
\frac{480.000}{40.000}\cdot\frac{1}{n(n-4)}=1.
Calculo \dfrac{480.000}{40.000}:
\frac{480.000}{40.000}=12.
Logo obtém-se:
\frac{12}{n(n-4)}=1.
Isto implica
n(n-4)=12.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
n^2-4n-12=0.
Uso a fórmula quadrática ou fatoração. Tento fatorar: quais dois números multiplicam -12 e somam -4? São -6 e +2. Então:
n^2-4n-12=(n-6)(n+2)=0.
As raízes são n=6 e n=-2. Como n representa número de pessoas, deve ser um inteiro positivo e além disso satisfazer n-4>0 (porque depois têm de sobrar pessoas). Assim n=-2 é impossível, restando
n=6.

Passo 6

Verificação rápida para ganhar confiança (bom hábito na prova): com n=6,
  • Parcela inicial: \dfrac{120.000}{6}=\mathrm{R}\$\,20.000{,}00.
  • Pessoas que ficam: 6-4=2.
  • Parcela nova: \dfrac{120.000}{2}=\mathrm{R}\$\,60.000{,}00.
    Aumentou exatamente \mathrm{R}\$\,40.000{,}00, como pedido. Está correto.

Resposta

(C) 6 empresários.

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