Questão 48

Para o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=4 \\\\ 2 x+2 y-4 z=8 \\\ x+3 y+4 z=10\end{array}\right.
É correto afirmar que:
(A) x=2, y=2 e z=0, é a solução do sistema.
(B) O sistema não tem solução.
(C) O sistema tem infinitas soluções.
(D) O sistema tem solução e ela é única.
(E) X=1, y=1 e z=-1, é solução do sistema

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de equações lineares:
\begin{cases} x+y-2z=4,\\[4pt] 2x+2y-4z=8,\\[4pt] x+3y+4z=10. \end{cases}
O que o enunciado pede é identificar qual das afirmações (A) a (E) é correta:
  • (A) \,x=2,\;y=2,\;z=0 é solução do sistema.
  • (B) O sistema não tem solução.
  • (C) O sistema tem infinitas soluções.
  • (D) O sistema tem solução e ela é única.
  • (E) \,x=1,\;y=1,\;z=-1 é solução do sistema.]

Passo 2

Observação sobre as equações fornecidas (usar dados do enunciado): comparar a segunda equação com a primeira. Multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se:
2\cdot(x+y-2z)=2x+2y-4z=8,
que é exatamente a segunda equação dada. Portanto a segunda equação é dependente da primeira (não traz informação nova). Logo o sistema efetivamente contém apenas duas equações independentes para três incógnitas.

Passo 3

Como temos duas equações independentes em três incógnitas, é natural isolar uma variável em termos das outras e parametrizar as soluções. Vamos isolar x a partir da primeira equação:
x+y-2z=4 \quad\Longrightarrow\quad x=4-y+2z.
Expliquei: isolei x passando y e -2z para o outro lado, mudando o sinal.

Passo 4

Substituir a expressão de x na terceira equação (peguei a terceira equação do enunciado):
x+3y+4z=10.
Substituindo x=4-y+2z temos
(4-y+2z)+3y+4z=10.
Agora simplifico termo a termo:
4 + (-y+3y) + (2z+4z) = 10,
4 + 2y + 6z = 10.

Passo 5

Continuando a simplificação da equação resultante:
4 + 2y + 6z = 10 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 6z = 6.
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
y + 3z = 3.
Agora isolo y:
y = 3 - 3z.

Passo 6

Usar y=3-3z na expressão que tínhamos para x, x=4-y+2z:
x = 4 - (3-3z) + 2z = 4 -3 +3z +2z = 1 + 5z.
Portanto as soluções do sistema podem ser descritas em função do parâmetro livre z. Tomando z como parâmetro t\in\mathbb{R}, obtemos a parametrização:
\boxed{\,x=1+5t,\quad y=3-3t,\quad z=t\;,\; t\in\mathbb{R}\,}
ou, em forma vetorial,
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação final (a partir do desenvolvimento acima): como há um parâmetro livre t ( z pode ser qualquer número real), o sistema possui infinitas soluções (uma reta de soluções no espaço (x,y,z)). Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções.
Validação das alternativas numéricas (usar para eliminar A e E): testar as propostas (A) e (E) diretamente nas equações originais.
  • Para (A): (x,y,z)=(2,2,0). Na terceira equação x+3y+4z obtemos 2+3\cdot2+4\cdot0=2+6+0=8\neq10. Logo (A) não é solução.
  • Para (E): (x,y,z)=(1,1,-1). Na terceira equação 1+3\cdot1+4(-1)=1+3-4=0\neq10. Logo (E) não é solução.
  • (B) está errada porque o sistema é compatível (tem soluções).
  • (D) está errada porque não existe solução única (há um parâmetro livre).

Resposta

(C)

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