Cenário 02: Considere agora que o tanque seja cilíndrico e que em um determinado momento, a vazão de entrada seja desligada, considerando que o tanque tenha um diâmetro de
eo orifício de saida seja de
em quanto tempo, em segundos, o tanque irá esvaziar totalmente, sabendo que este tinha inicialmente
, sabendo que o coeficiente de descarga é 0,6 ?
Passo 1
O enunciado pede o tempo que o tanque cilíndrico levará para esvaziar totalmente após cortar a vazão de entrada. Informações dadas:
- diâmetro do tanque:
; - diâmetro do orifício de saída:
; - volume inicial do líquido:
; - coeficiente de descarga:
.
Pergunta final: em quanto tempo (em segundos) o tanque ficará vazio?
Passo 2
Vamos transformar os dados em grandezas úteis e calcular a altura inicial do líquido no tanque.
- Converter volume:
. - Área da seção transversal do tanque (cilindro): raio
, então
- A altura inicial
obtém-se por , logo
Aqui já temos
em metros (aprox.
), mas manteremos a forma exata
para clareza.
Passo 3
Área do orifício:
- diâmetro
, raio , então
Explicação física curta e fórmula usada:
- A velocidade de saída pelo orifício, supondo escoamento ideal pela pressão hidrostática, é dada por Torricelli:
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é a altura instantânea do líquido.
- A vazão volumétrica que sai pelo orifício é
onde
é o coeficiente de descarga e
é a área do orifício.
Passo 4
Equação de balanço de massa (continuidade) para o tanque:
- taxa de variação de volume no tanque:
. - como
, temos .
Portanto
Isolando
:
Esta é uma equação diferencial separável de primeira ordem.
Passo 5
Resolver por separação de variáveis:
Integrar ambos os lados do instante inicial
com
até o tempo
com
:
Calcular a integral esquerda:
. Aplicando os limites:
Portanto
e isolando
:
Esta fórmula é a expressão geral para o tempo de esvaziamento (sob as hipóteses feitas).
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora, com raciocínio):
-
. -
. - razão das áreas:
- dividir por
:
Passo 7
Calcular
numericamente:
Substituindo os números:
Em minutos isso dá aproximadamente
, só para intuição.