Cenário 02: Considere agora que o tanque seja cilíndrico e que em um determinado momento, a vazão de entrada seja desligada, considerando que o tanque tenha um diâmetro de 1 m eo orifício de saida seja de 2 c m em quanto tempo, em segundos, o tanque irá esvaziar totalmente, sabendo que este tinha inicialmente 1000 L, sabendo que o coeficiente de descarga é 0,6 ?

Passo 1

O enunciado pede o tempo que o tanque cilíndrico levará para esvaziar totalmente após cortar a vazão de entrada. Informações dadas:
  • diâmetro do tanque: 1\\ \text{m};
  • diâmetro do orifício de saída: 2\\ \text{cm};
  • volume inicial do líquido: 1000\\ \text{L};
  • coeficiente de descarga: C_d = 0,6.
    Pergunta final: em quanto tempo (em segundos) o tanque ficará vazio?

Passo 2

Vamos transformar os dados em grandezas úteis e calcular a altura inicial do líquido no tanque.
  • Converter volume: 1000\\ \text{L} = 1\\ \text{m}^3.
  • Área da seção transversal do tanque (cilindro): raio r_{t}=\dfrac{1}{2}=0,5\\ \text{m}, então
A_{t}=\pi r_{t}^2=\pi(0,5)^2=0,25\pi\\ \text{m}^2.
  • A altura inicial h_0 obtém-se por V=A_t h_0, logo
h_0=\dfrac{V}{A_t}=\dfrac{1}{0,25\pi}=\dfrac{4}{\pi}\\ \text{m}.
Aqui já temos h_0 em metros (aprox. 1,27324\\ \text{m}), mas manteremos a forma exata 4/\pi para clareza.

Passo 3

Área do orifício:
  • diâmetro d_o=2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}, raio r_o=0,01\\ \text{m}, então
a=\pi r_o^2=\pi(0,01)^2=\pi\cdot 10^{-4}\\ \text{m}^2.
Explicação física curta e fórmula usada:
  • A velocidade de saída pelo orifício, supondo escoamento ideal pela pressão hidrostática, é dada por Torricelli:
v=\sqrt{2gh},
onde g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \text{m/s}^2) e h é a altura instantânea do líquido.
  • A vazão volumétrica que sai pelo orifício é
Q=C_d\,a\,\sqrt{2gh},
onde C_d é o coeficiente de descarga e a é a área do orifício.

Passo 4

Equação de balanço de massa (continuidade) para o tanque:
  • taxa de variação de volume no tanque: \dfrac{dV}{dt}=-Q.
  • como V=A_t h, temos \dfrac{dV}{dt}=A_t \dfrac{dh}{dt}.
    Portanto
A_t \dfrac{dh}{dt} = - C_d\,a\,\sqrt{2gh}.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\dfrac{dh}{dt} = -\dfrac{C_d\,a}{A_t}\,\sqrt{2g}\,\sqrt{h}.
Esta é uma equação diferencial separável de primeira ordem.

Passo 5

Resolver por separação de variáveis:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d\,a}{A_t}\sqrt{2g}\,dt.
Integrar ambos os lados do instante inicial t=0 com h=h_0 até o tempo t=T com h=0:
\int_{h_0}^{0} h^{-1/2} dh = -\frac{C_d\,a}{A_t}\sqrt{2g}\int_{0}^{T} dt.
Calcular a integral esquerda: \int h^{-1/2} dh = 2\sqrt{h}. Aplicando os limites:
2\sqrt{0}-2\sqrt{h_0} = -\frac{C_d\,a}{A_t}\sqrt{2g}\,T.
Portanto
-2\sqrt{h_0} = -\frac{C_d\,a}{A_t}\sqrt{2g}\,T
e isolando T:
T = \dfrac{2\sqrt{h_0}\,A_t}{C_d\,a\,\sqrt{2g}}.
Esta fórmula é a expressão geral para o tempo de esvaziamento (sob as hipóteses feitas).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora, com raciocínio):
  • A_t = 0,25\pi\\ \text{m}^2.
  • a = \pi\cdot 10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • razão das áreas:
\dfrac{A_t}{a} = \dfrac{0,25\pi}{\pi\cdot 10^{-4}}=\dfrac{0,25}{10^{-4}}=2500.
  • dividir por C_d:
\dfrac{A_t}{C_d\,a}=\dfrac{2500}{0,6}=4166{,}666666\ldots
  • \sqrt{h_0}=\sqrt{\dfrac{4}{\pi}}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\approx 1{,}128379167.
  • \sqrt{2g}=\sqrt{2\cdot 9{,}81}=\sqrt{19{,}62}\approx 4{,}429446.

Passo 7

Calcular T numericamente:
T = \dfrac{2\sqrt{h_0}}{\sqrt{2g}}\cdot \dfrac{A_t}{C_d\,a}.
Substituindo os números:
T \approx \dfrac{2\cdot 1{,}128379167}{4{,}429446}\cdot 4166{,}666667 \approx 0{,}509295818\cdot 4166{,}666667 \approx 2122{,}9\\ \text{s}.
Em minutos isso dá aproximadamente \dfrac{2122{,}9}{60}\approx 35{,}38\\ \text{min}, só para intuição.

Resposta

2122{,}9\\ \text{s}

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