Questão 3. (4pts) Considere a transformação T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y)
a) Sem obter o polinômio característico da transformação encontre os autovalores aos quais estão associados os autovetores V1=(1,-1,0), V2=(1,1,1) e V3=(1,0,-1);
b) Sem obter o polinômio característico da transformação, responda se T é diagonalizável. Em caso afirmativo, expresse matrizes P invertível e D diagonal (além da matriz [T] ) tais que P^-1[T] P=D.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T: R^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y)
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores e diagonalização de uma matriz. Para resolver, vamos aplicar T aos vetores fornecidos, identificar os autovalores e, em seguida, montar as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Aplicamos T a cada vetor próprio candidato e verificamos se T(v)=lambda v:
V1=(1,-1,0)
T(1,-1,0)=((-1)+0,;1+0,;1+(-1))=(-1,;1,;0)=-1cdot(1,-1,0),
logo V1 é autovetor com autovalor lambda1=-1.

Passo 3

V2=(1,1,1)
T(1,1,1)=(1+1,;1+1,;1+1)=(2,2,2)=2cdot(1,1,1),
logo V2 é autovetor com autovalor lambda2=2.

Passo 4

V3=(1,0,-1)
T(1,0,-1)=(0+(-1),;1+(-1),;1+0)=(-1,;0,;1)=-1cdot(1,0,-1),
logo V3 é autovetor com autovalor lambda3=-1.

Passo 5

Como encontramos três autovetores linearmente independentes em R^3, a transformação é diagonalizável. A matriz de T na base canônica é
[T]= 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 6

Escolhendo a ordem dos autovetores em P como V1,V3,V2, temos
P= 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 ,
cuja inversa existe pois colunas são independentes. A matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem é
D= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Por construção vale
P^-1,[T],P = D

Resposta

Matriz de T na base canônica:
[T]= 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Autovalores associados:
V1mapstolambda1=-1, V2mapstolambda2=2, V3mapstolambda3=-1
Como há três autovetores independentes, T é diagonalizável. Uma escolha de P e D é
P= 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 , D= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ,
satisfazendo P^-1[T]P=D.

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