Questão 3. (4pts) Considere a transformação dada por
a) Sem obter o polinômio característico da transformação encontre os autovalores aos quais estão associados os autovetores e ;
b) Sem obter o polinômio característico da transformação, responda se é diagonalizável. Em caso afirmativo, expresse matrizes invertível e diagonal (além da matriz ) tais que .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear dada por
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores e diagonalização de uma matriz. Para resolver, vamos aplicar aos vetores fornecidos, identificar os autovalores e, em seguida, montar as matrizes de mudança de base.
Passo 2
Aplicamos a cada vetor próprio candidato e verificamos se :
logo é autovetor com autovalor .
Passo 3
logo é autovetor com autovalor .
Passo 4
logo é autovetor com autovalor .
Passo 5
Como encontramos três autovetores linearmente independentes em , a transformação é diagonalizável. A matriz de na base canônica é
Passo 6
Escolhendo a ordem dos autovetores em P como V1,V3,V2, temos
P= 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 ,
cuja inversa existe pois colunas são independentes. A matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem é