(a) Encontre a matriz de em relação as bases canônicas.
(b) Encontre uma base para o núcleo .
(c) Extenda a base obtida em (b) a uma base do domínio . Encontre a matriz da transformação da base para a base canônica .
(d) Use o Teorema da dimensão do núcleo e da imagem para descobrir a dimensão da imagem.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
e pede: (a) a matriz de nas bases canônicas; (b) uma base para ; (c) estender essa base a uma base de e achar ; (d) usar o teorema da dimensão para obter . Vamos usar conhecimentos de matrizes de transformação linear, solução de sistemas lineares e o Teorema da Dimensão (nulidade posto dimensão do domínio).
Passo 2
(a) Para obter nas bases canônicas, basta anotar as coordenadas de . Como
a matriz é
Passo 3
(b) Para
Da terceira equação vem (da primeira) dá
Logo .
Uma base de é
Passo 4
(c) Estendendo essa base a CsubsetR^4, podemos escolher por exemplo os vetores canônicos e1=(1,0,0,0) e e4=(0,0,0,1), que são independentes dos dois primeiros. Assim
C=l(10,4,1,0),;(-3,-1,0,1),;(1,0,0,0),;(0,0,0,1)r
Agora [T]EC tem colunas T dos vetores de C, em coordenadas canônicas. Como os dois primeiros estão no núcleo, suas imagens são (0,0,0). E
T(1,0,0,0)=(1,2,0), T(0,0,0,1)=(1,1,1)
Logo
[T]EC = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Passo 5
(d) Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem),