Questão 2. (8pts) Seja T: R^4 R^3 dada por
T(a, b, c, d)=(a-2 b-2 c+d, 2 a-5 b+d, b-4 c+d)
(a) Encontre [T] a matriz de T em relação as bases canônicas.
(b) Encontre uma base para o núcleo ker T.
(c) Extenda a base obtida em (b) a uma base C do domínio R^4. Encontre a matriz da transformação [T]E C da base C para a base canônica E.
(d) Use o Teorema da dimensão do núcleo e da imagem para descobrir a dimensão da imagem.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
Tcolon R^4toR^3, T(a,b,c,d)=(a-2b-2c+d,;2a-5b+d,;b-4c+d),
e pede: (a) a matriz de T nas bases canônicas; (b) uma base para ker T; (c) estender essa base a uma base C de R^4 e achar [T]EC; (d) usar o teorema da dimensão para obter diml(imTr). Vamos usar conhecimentos de matrizes de transformação linear, solução de sistemas lineares e o Teorema da Dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio).

Passo 2

(a) Para obter [T] nas bases canônicas, basta anotar as coordenadas de T(e1),T(e2),T(e3),T(e4). Como
T(a,b,c,d)=(1cdot a-2cdot b-2cdot c+1cdot d,;2a-5b+0cdot c+1d,;0cdot a+1b-4c+1d),
a matriz 3times4 é
[T]= 1 & -2 & -2 & 1 2 & -5 & 0 & 1 0 & 1 & -4 & 1

Passo 3

(b) Para
Da terceira equação vem (da primeira) dá
Logo .
Uma base de é

Passo 4

(c) Estendendo essa base a CsubsetR^4, podemos escolher por exemplo os vetores canônicos e1=(1,0,0,0) e e4=(0,0,0,1), que são independentes dos dois primeiros. Assim
C=l(10,4,1,0),;(-3,-1,0,1),;(1,0,0,0),;(0,0,0,1)r
Agora [T]EC tem colunas T dos vetores de C, em coordenadas canônicas. Como os dois primeiros estão no núcleo, suas imagens são (0,0,0). E
T(1,0,0,0)=(1,2,0), T(0,0,0,1)=(1,1,1)
Logo
[T]EC = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 5

(d) Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem),
dim(ker T)+diml(imTr)=dim(R^4)=4
Como dim(ker T)=2, segue
diml(imTr)=4-2=2

Resposta

(a)
[T]= 1 & -2 & -2 & 1 2 & -5 & 0 & 1 0 & 1 & -4 & 1
(b)
ker T tem base (10,4,1,0),;(-3,-1,0,1)
(c)
Uma extensão a base de R^4 é
C=(10,4,1,0),,(-3,-1,0,1),,(1,0,0,0),,(0,0,0,1)
e
[T]EC = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1
(d)
diml(imTr)=2

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