Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k e
w=3 imath+6 jmath
Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
u, v e (7,4,0).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(2,-1,2), v=(5,5,-2) e w=(7,4,0) em R^3 e pede para verificar se eles são linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar a definição de dependência linear: ver se existem escalares não todos nulos alpha,beta,gamma tais que
alphau+betav+gammaw=0

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, obtemos o sistema
2alpha+5beta+7gamma=0, -,alpha+5beta+4gamma=0, 2alpha-2beta+0gamma=0

Passo 3

Da terceira equação extraímos
2alpha-2beta=0 Longrightarrow alpha=beta
Substituindo alpha=beta na primeira equação:
2beta+5beta+7gamma=0 Longrightarrow 7beta+7gamma=0 Longrightarrow gamma=-beta
Agora conferimos na segunda equação:
-,beta+5beta+4(-beta)=(-beta+5beta-4beta)=0,
que é satisfeita identicamente. Logo existe solução não trivial, por exemplo (alpha,beta,gamma)=(1,1,-1).

Passo 4

Como encontramos escalares não todos nulos que anulam a combinação, concluímos que u,v,w são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são L.D. (linearmente dependentes).

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