Questão 4. (4pts) Responda VERDADEIRO ou FALSO, com uma breve justificativa ou contra-exemplo:
i-( ) Se V1, V2, V3, V4 subseteq R^4 é um subconjunto LD, então V1, V2, V3 é LD ou V2, V3, V4 é LD;
ii-( ) Uma transformação linear T: R^2 R^2 ser diagonalizável em R é equivalente a T possuir 2 autovalores reais distintos;

Passo 1

O enunciado pede para classificar duas afirmações como VERDADEIRO ou FALSO, dando justificativa ou contra-exemplo. O conteúdo envolve (i) dependência linear em R^4 e (ii) diagonalização de transformações lineares em R^2.

Passo 2

Para a afirmação (i) “Se V1,V2,V3,V4subseteqR^4 é LD, então V1,V2,V3 é LD ou V2,V3,V4 é LD”, apresentamos o seguinte contra-exemplo em R^4:
V1=(1,0,0,0), V2=(0,1,0,0), V3=(0,0,1,0), V4=(1,1,1,0)
Verificações no contra-exemplo:
  1. V1,V2,V3,V4 é LD porque
V4=V1+V2+V3
  1. V1,V2,V3 é independente pois a única combinação
aV1+bV2+cV3=0
implica a=b=c=0.
3. V2,V3,V4 é independente pois
aV2+bV3+cV4=(c,;a+c,;b+c,;0)=0
força c=0 e depois a=b=0.

Passo 3

Como temos o conjunto de quatro vetores LD mas nenhuma das triplas indicadas é LD, a afirmação (i) é FALSA.

Passo 4

Para a afirmação (ii) “ TcolonR^2toR^2 é diagonalizável em R se e só se T possui dois autovalores reais distintos”, usamos o operador identidade T=I como contra-exemplo.
O operador T=I tem único autovalor real lambda=1 (multiplicidade algébrica 2), mas é diagonalizável (matriz já é a identidade em qualquer base). Logo, T é diagonalizável sem ter dois autovalores distintos, e a afirmação (ii) é FALSA.

Resposta

i- FALSO
ii- FALSO

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