Questão 4. (4pts) Responda VERDADEIRO ou FALSO, com uma breve justificativa ou contra-exemplo:
i-( ) Se
é um subconjunto LD, então
é LD ou
é LD;
ii-( ) Uma transformação linear
ser diagonalizável em
é equivalente a
possuir 2 autovalores reais distintos;
i-( ) Se
ii-( ) Uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para classificar duas afirmações como VERDADEIRO ou FALSO, dando justificativa ou contra-exemplo. O conteúdo envolve (i) dependência linear em
e (ii) diagonalização de transformações lineares em
.
Passo 2
Para a afirmação (i) “Se
é LD, então
é LD ou
é LD”, apresentamos o seguinte contra-exemplo em
:
Verificações no contra-exemplo:
-
é LD porque
-
é independente pois a única combinação
implica
.
3. é independente pois
3.
força
e depois
.
Passo 3
Como temos o conjunto de quatro vetores LD mas nenhuma das triplas indicadas é LD, a afirmação (i) é FALSA.
Passo 4
Para a afirmação (ii) “
é diagonalizável em
se e só se
possui dois autovalores reais distintos”, usamos o operador identidade
como contra-exemplo.
O operador tem único autovalor real
(multiplicidade algébrica 2), mas é diagonalizável (matriz já é a identidade em qualquer base). Logo,
é diagonalizável sem ter dois autovalores distintos, e a afirmação (ii) é FALSA.
O operador
Resposta
i- FALSO
ii- FALSO
ii- FALSO