De um tetraedro A B C D, sabemos que:
I) A(0,0,0), D(1,5, t), t in R, e A B cdot A C=8;
II) A B^circ=(1,0,0) e A C^circ=(12, raiz32, 0);
III) o triângulo A B C é equilátero.
Determine as coordenadas do vértice D para que o volume deste tetraedro seja igual a 8 raiz33 u.v.

Passo 1

O enunciado descreve um tetraedro A B C D com A=(0,0,0), D=(1,5,t), sabendo que
  • ABcdotAC=8,
  • AB=(1,0,0) e AC=l(tfrac12,tfracraiz32,0r),
  • o triângulo ABC é equilátero,
    e pede-se t de modo que o volume seja tfrac8raiz33.
    Conteúdo: geometria analítica (produtor vetorial/determinante e volume de tetraedro).

Passo 2

Como AB=lvert ABrvert,(1,0,0) e AC=lvert ACrvert,l(tfrac12,tfracraiz32,0r), temos
ABcdotAC =lvert ABrvertlvert ACrvertl((1)(tfrac12)+0+!0r) =lvert ABrvertlvert ACrvert2 =8
logo lvert ABrvertlvert ACrvert=16. Como ABC é equilátero, lvert ABrvert=lvert ACrvert, e segue
lvert ABrvert^2=16 Longrightarrow lvert ABrvert=lvert ACrvert=4

Passo 3

A partir de A=(0,0,0), os vértices são
B=A+AB=(4,0,0), C=A+AC=l(2,2raiz3,0r)

Passo 4

O volume do tetraedro é
V=16l|det[AB,AC,AD]r|,
onde AD=(1,5,t). Calculamos
det 4 & 0 & 0 2 & 2raiz3 & 0 1 & 5 & t =4,(2raiz3cdot t-0cdot5) =8raiz3,t
Logo
V=l|8raiz3,tr|6 =4raiz3,lvert trvert3

Passo 5

Impondo V=tfrac8raiz33, temos
4raiz3,lvert trvert3=8raiz33 Longrightarrow 4,lvert trvert=8 Longrightarrow lvert trvert=2 ;Rightarrow;t=2 ou t=-2

Resposta

As coordenadas de D que produzem o volume pedido são
D=(1,5,2) ou D=(1,5,-2)

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