Milton e Victor combinam de se encontrar entre 18 e 19 horas para jantar em um restaurante italiano. Sejam \mathrm{X}= hora de chegada de Victor e \mathrm{Y}= hora de chegada de Milton. Suponha que X e Y sejam independentes com distribuição uniforme no intervalo [18;19]: a probabilidade de um intervalo de tempo é igual à porcentagem do intervalo [18;19].
a) Determine a probabilidade de que ambos cheguem entre 18:30 e 18:45. b) Imagine agora que 10 alunos marquem de jantar neste restaurante e que a hora da chegada seja independente. Assuma ainda que a hora de chegada de cada um tenha distribuição uniforme no intervalo [18;19]. Qual a probabilidade de que exatamente 2 alunos cheguem antes das 18:30? (dê um número e não uma fórmula!)
c) Qual a probabilidade de que Milton e Victor cheguem antes das 18:45 e apenas três dos oito alunos restantes cheguem após 18:45?

Passo 1

O enunciado e as informações fornecidas (tudo pego do enunciado):
  • Sejam \mathrm{X}= hora de chegada de Victor e \mathrm{Y}= hora de chegada de Milton.
  • \mathrm{X} e \mathrm{Y} são independentes e têm distribuição uniforme no intervalo [18,19]. Isso significa que a probabilidade de chegar num subintervalo é a razão entre o comprimento do subintervalo e 1 hora.
  • Parte (a): pedir a probabilidade de que ambos cheguem entre 18:30 e 18:45.
  • Parte (b): agora há 10 alunos, chegadas independentes e uniformes em [18,19]. Pedem a probabilidade de que exatamente 2 alunos cheguem antes das 18:30. (O enunciado exige um número, não só uma fórmula.)
  • Parte (c): considerar Milton e Victor mais oito alunos restantes (total de 10 pessoas); pedir a probabilidade de que Milton e Victor cheguem antes das 18:45 e que apenas 3 dos 8 alunos restantes cheguem após 18:45.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e direta): distribuição uniforme no intervalo [18,19].
  • Se uma variável aleatória T é uniforme em [18,19], a probabilidade de que T caia num subintervalo [a,b]\subset[18,19] é
\mathbb{P}(a\le T\le b)=\frac{b-a}{1\\ \text{hora}}.
  • Exemplo concreto: o intervalo entre 18:30 e 18:45 tem comprimento 15 minutos, ou seja \tfrac{15}{60}=\tfrac{1}{4} hora. Logo, para uma pessoa qualquer, a probabilidade de chegar entre 18:30 e 18:45 é \tfrac{1}{4}.
  • Independência entre chegadas significa que probabilidades conjuntas são produtos das probabilidades individuais quando queremos eventos combinados (por exemplo, "A chega no intervalo I e B chega no intervalo I").

Passo 3

Calcular a probabilidade de que ambos — Milton e Victor — cheguem entre 18:30 e 18:45.
  • Para Victor: \mathbb{P}(\text{Victor em }[18\!:\!30,18\!:\!45])=\tfrac{1}{4}.
  • Para Milton: \mathbb{P}(\text{Milton em }[18\!:\!30,18\!:\!45])=\tfrac{1}{4}.
  • Como são independentes, a probabilidade conjunta é o produto:
\mathbb{P}(\text{ambos no intervalo})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}.
  • Em forma decimal isso é \frac{1}{16}=0,0625.

Passo 4

Preparação para (b): modelagem do número de alunos que chegam antes das 18:30.
  • Cada aluno tem probabilidade p de chegar antes das 18:30. O intervalo [18,18\!:\!30] tem comprimento 30 minutos, ou seja p=\tfrac{30}{60}=\tfrac{1}{2}.
  • Como chegadas são independentes, o número de alunos que chegam antes das 18:30 entre n=10 alunos segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=\tfrac{1}{2}.
  • A probabilidade de exatamente k sucessos (aqui: chegar antes das 18:30) é
\mathbb{P}(K=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
  • Aqui n=10, k=2, p=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula binomial:
  • \binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
  • p^{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}.
  • (1-p)^{8}=(\tfrac{1}{2})^{8}=\tfrac{1}{256}.
  • Multiplicando:
\mathbb{P}(\text{exatamente }2)=45\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{256}=45\cdot\frac{1}{1024}=\frac{45}{1024}.
  • Em decimal:
\frac{45}{1024}=0,0439453125.
(Esse é o número pedido.)

Passo 6

Preparação para (c): entender os eventos que devem acontecer simultaneamente.
  • Queremos:
    1. Milton e Victor cheguem antes das 18:45.
    2. Dos 8 alunos restantes, exatamente 3 cheguem após 18:45.
  • Probabilidades individuais relativas a 18:45:
    • Probabilidade de um indivíduo chegar antes das 18:45: comprimento do intervalo [18,18\!:\!45] é 45 minutos, logo p_{\text{antes}}=\tfrac{45}{60}=\tfrac{3}{4}.
    • Probabilidade de chegar após 18:45: p_{\text{após}}=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.ó
  • Milton e Victor independentes entre si e em relação aos alunos, portanto a probabilidade conjunta será produto da probabilidade de Milton+Victor por a probabilidade correspondente ao esquema binomial para os 8 alunos.

Passo 7

  • Probabilidade de Milton e Victor chegarem antes das 18:45:
\left(\frac{3}{4}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}.
  • Para os 8 alunos: queremos exatamente 3 que cheguem após 18:45, ou seja k=3 sucessos com probabilidade p_{\text{após}}=\tfrac{1}{4}ó por aluno. Logo usar binomial com n=8, k=3, p=\tfrac{1}{4}:
\mathbb{P}(\text{exatamente }3\text{ após})=\binom{8}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{5}.ó
  • Calculando constantes:
    • \binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
    • Juntando tudo (multiplicando pelo fator dos dois primeiros):
\mathbb{P}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot 56\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{5} =56\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{7}.
  • Fazendo contas numéricas:
    • \left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{64}.
    • \left(\frac{3}{4}\right)^{7}=\dfrac{3^{7}}{4^{7}}=\dfrac{2187}{16384}.
    • Multiplicando: 56\cdot\dfrac{1}{64}\cdot\dfrac{2187}{16384}=\dfrac{56\cdot2187}{64\cdot16384}.
    • Simplificando denominadores: 64\cdot16384=4^{3}\cdot4^{7}=4^{10}=1{,}048{,}576.
    • Numerador: 56\cdot2187=122{,}472.
    • Então a probabilidade é \dfrac{122{,}472}{1{,}048{,}576}.
  • Em decimal (valor numérico pedido):
\frac{122{,}472}{1{,}048{,}576}=0,1168068115234375.

Resposta

(a) \dfrac{1}{16}=0,0625
(b) 0,0439453125
(c) 0,1168068115234375

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