Milton e Victor combinam de se encontrar entre 18 e 19 horas para jantar em um restaurante italiano. Sejam
hora de chegada de Victor e
hora de chegada de Milton. Suponha que X e Y sejam independentes com distribuição uniforme no intervalo [18;19]: a probabilidade de um intervalo de tempo é igual à porcentagem do intervalo [18;19].
a) Determine a probabilidade de que ambos cheguem entre 18:30 e 18:45. b) Imagine agora que 10 alunos marquem de jantar neste restaurante e que a hora da chegada seja independente. Assuma ainda que a hora de chegada de cada um tenha distribuição uniforme no intervalo [18;19]. Qual a probabilidade de que exatamente 2 alunos cheguem antes das 18:30? (dê um número e não uma fórmula!)
c) Qual a probabilidade de que Milton e Victor cheguem antes das 18:45 e apenas três dos oito alunos restantes cheguem após 18:45?
a) Determine a probabilidade de que ambos cheguem entre 18:30 e 18:45. b) Imagine agora que 10 alunos marquem de jantar neste restaurante e que a hora da chegada seja independente. Assuma ainda que a hora de chegada de cada um tenha distribuição uniforme no intervalo [18;19]. Qual a probabilidade de que exatamente 2 alunos cheguem antes das 18:30? (dê um número e não uma fórmula!)
c) Qual a probabilidade de que Milton e Victor cheguem antes das 18:45 e apenas três dos oito alunos restantes cheguem após 18:45?
Passo 1
O enunciado e as informações fornecidas (tudo pego do enunciado):
- Sejam
hora de chegada de Victor e hora de chegada de Milton. -
e são independentes e têm distribuição uniforme no intervalo . Isso significa que a probabilidade de chegar num subintervalo é a razão entre o comprimento do subintervalo e hora. - Parte (a): pedir a probabilidade de que ambos cheguem entre 18:30 e 18:45.
- Parte (b): agora há
alunos, chegadas independentes e uniformes em . Pedem a probabilidade de que exatamente alunos cheguem antes das 18:30. (O enunciado exige um número, não só uma fórmula.) - Parte (c): considerar Milton e Victor mais oito alunos restantes (total de 10 pessoas); pedir a probabilidade de que Milton e Victor cheguem antes das 18:45 e que apenas
dos alunos restantes cheguem após 18:45.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática e direta): distribuição uniforme no intervalo
.
- Se uma variável aleatória
é uniforme em , a probabilidade de que caia num subintervalo é
- Exemplo concreto: o intervalo entre 18:30 e 18:45 tem comprimento
minutos, ou seja hora. Logo, para uma pessoa qualquer, a probabilidade de chegar entre 18:30 e 18:45 é . - Independência entre chegadas significa que probabilidades conjuntas são produtos das probabilidades individuais quando queremos eventos combinados (por exemplo, "A chega no intervalo
e B chega no intervalo ").
Passo 3
Calcular a probabilidade de que ambos — Milton e Victor — cheguem entre 18:30 e 18:45.
- Para Victor:
. - Para Milton:
. - Como são independentes, a probabilidade conjunta é o produto:
- Em forma decimal isso é
.
Passo 4
Preparação para (b): modelagem do número de alunos que chegam antes das 18:30.
- Cada aluno tem probabilidade
de chegar antes das 18:30. O intervalo tem comprimento minutos, ou seja . - Como chegadas são independentes, o número de alunos que chegam antes das 18:30 entre
alunos segue uma distribuição binomial com parâmetros e . - A probabilidade de exatamente
sucessos (aqui: chegar antes das 18:30) é
- Aqui
, , .
Passo 5
Aplicando a fórmula binomial:
-
-
-
- Multiplicando:
- Em decimal:
(Esse é o número pedido.)
Passo 6
Preparação para (c): entender os eventos que devem acontecer simultaneamente.
- Queremos:
- Milton e Victor cheguem antes das 18:45.
- Dos
alunos restantes, exatamente cheguem após 18:45.
- Probabilidades individuais relativas a 18:45:
- Probabilidade de um indivíduo chegar antes das 18:45: comprimento do intervalo
é minutos, logo - Probabilidade de chegar após 18:45:
- Probabilidade de um indivíduo chegar antes das 18:45: comprimento do intervalo
- Milton e Victor independentes entre si e em relação aos alunos, portanto a probabilidade conjunta será produto da probabilidade de Milton+Victor por a probabilidade correspondente ao esquema binomial para os 8 alunos.
Passo 7
- Probabilidade de Milton e Victor chegarem antes das 18:45:
- Para os
alunos: queremos exatamente que cheguem após 18:45, ou seja sucessos com probabilidade por aluno. Logo usar binomial com , , :
- Calculando constantes:
-
- Juntando tudo (multiplicando pelo fator dos dois primeiros):
-
- Fazendo contas numéricas:
-
-
- Multiplicando:
- Simplificando denominadores:
- Numerador:
- Então a probabilidade é
.
-
- Em decimal (valor numérico pedido):
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)