Questão 1 ( 50 pontos): Sabe-se que o escoamento em um duto de seção circular é influenciado pelas seguintes variáveis: velocidade média do escoamento V, viscosidade dinâmica \mu e densidade do fluido \rho, diâmetro D do duto, rugosidade do duto \varepsilon, tensão de cisalhamento na parede do duto \tau. Encontre os adimensionais relevantes escolhendo o núcleo \rho, \mathrm{D} e V .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes variáveis envolvidas no escoamento num duto circular:
  • velocidade média do escoamento: V;
  • viscosidade dinâmica: \mu;
  • densidade do fluido: \rho;
  • diâmetro do duto: D;
  • rugosidade do duto: \varepsilon;
  • tensão de cisalhamento na parede do duto: \tau.
O que é pedido: encontrar os adimensionais relevantes (as combinações adimensionais independentes, os \pi-grupos) escolhendo como núcleo (variáveis repetidas) \rho,\;D e V. Não há outras informações numéricas; só as variáveis e a escolha do núcleo.

Passo 2

Estratégia e contagem de grupos (forma prática do Teorema de Buckingham): há n=6 variáveis e as dimensões fundamentais envolvidas são massa, comprimento e tempo (ou seja, m=3). Portanto o número de \pi-grupos independentes será k=n-m=6-3=3. Vamos construir três grupos adimensionais usando as variáveis repetidas \rho,\;D,\;V.
Antes de montar os grupos, escrevemos as dimensões (em notação [\,\cdot\,]) de cada variável:
  • [\rho]=[M L^{-3}]
  • [V]=[L T^{-1}]
  • [D]=[L]
  • [\mu]=[M L^{-1} T^{-1}]
  • [\varepsilon]=[L]
  • [\tau]=[M L^{-1} T^{-2}]
Explicação curta: aqui [M] representa dimensão de massa, [L] de comprimento e [T] de tempo. O objetivo é formar combinações do tipo \pi = X\,\rho^{a} D^{b} V^{c} onde X é a variável que queremos adimensionalizar ( \mu,\varepsilon,\tau) e escolher expoentes a,b,c tais que as dimensões se cancelem.

Passo 3

Construindo o primeiro [\pi)-grupo para \mu.
Proponho
\pi_1=\mu\,\rho^{a}D^{b}V^{c}.
As dimensões combinadas são
[\pi_1]=[M^{1+a}L^{-1-3a+b+c}T^{-1-c}].
Impondo que [\pi_1] seja adimensional, igualamos os expoentes a zero:
\begin{cases} 1+a=0 &\Rightarrow a=-1,\\[4pt] -1-3a+b+c=0,\\[4pt] -1-c=0 &\Rightarrow c=-1. \end{cases}
Substituindo a=-1\] e \(c=-1 na equação do comprimento:
-1-3(-1)+b+(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad b=-1.
Logo
\pi_1=\mu\,\rho^{-1}D^{-1}V^{-1}=\frac{\mu}{\rho V D}.
É comum definir o número de Reynolds como o inverso desse \pi-grupo. Assim:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu} \quad\text{e}\quad \pi_1=\mathrm{Re}^{-1}.
Explicação física didática: o número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscous (inércia/viscosidade). Fluxos com \mathrm{Re} pequeno tendem a ser dominados por viscosidade (laminar); com \mathrm{Re} grande as forças inerciais dominam (potencialmente turbulento). Na prova, reconhecer \mathrm{Re} é quase sempre a primeira coisa a fazer para escoamentos.]

Passo 4

Construindo o segundo [\pi)-grupo para \varepsilon (rugosidade), que tem dimensão de comprimento.
Proponho
\pi_2=\varepsilon\,\rho^{a}D^{b}V^{c}.
Dimensões:
[\pi_2]=[M^{a}L^{1-3a+b+c}T^{-c}].
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} a=0 &\text{(expoente de \(M deve ser zero)},\[4pt] - c=0 &\Rightarrow c=0,\[4pt] 1-3a+b+c=0 \Rightarrow 1+b=0 \Rightarrow b=-1. \end{cases}]
Portanto
\pi_2=\varepsilon\,D^{-1}=\frac{\varepsilon}{D}.
Interpretação didática: \varepsilon/D é a rugosidade relativa. Em escoamento interno (em dutos), o efeito da rugosidade aparece sempre relativo ao diâmetro; por isso \varepsilon/D é o parâmetro adimensional natural que controla perda por atrito em regime turbulento.]

Passo 5

Construindo o terceiro [\pi)-grupo para \tau (tensão de cisalhamento na parede).
Proponho
\pi_3=\tau\,\rho^{a}D^{b}V^{c}.
Dimensões:
[\pi_3]=[M^{1+a}L^{-1-3a+b+c}T^{-2-c}].
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} 1+a=0 &\Rightarrow a=-1,\\[4pt] -2-c=0 &\Rightarrow c=-2,\\[4pt] -1-3a+b+c=0. \end{cases}
Substituindo a=-1\] e \(c=-2 na equação do comprimento:
-1-3(-1)+b+(-2)=0 \quad\Rightarrow\quad -1+3+b-2=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Logo
\pi_3=\tau\,\rho^{-1}V^{-2}=\frac{\tau}{\rho V^{2}}.
Interpretação e conexão prática: \dfrac{\tau}{\rho V^{2}} é a tensão de cisalhamento na parede normalizada pela pressão dinâmica \rho V^{2}. É diretamente proporcional ao fator de atrito comumente usado em hidráulica. Mais precisamente, o fator de atrito de Darcy (comumente chamado apenas de f) está relacionado por
f=\frac{8\,\tau}{\rho V^{2}}=8\,\pi_3,
ou seja \pi_3 é proporcional ao fator de atrito. Há também a convenção do fator de Fanning (que é f_{Fanning}=\dfrac{\tau}{\frac{1}{2}\rho V^{2}}=2\pi_3); diferentes áreas usam fatores diferentes, mas a combinação física básica é \tau/(\rho V^2).]

Passo 6

Síntese final e forma funcional esperada.
Temos três \pi-grupos independentes:
\pi_1=\frac{\mu}{\rho V D}=\mathrm{Re}^{-1},\qquad \pi_2=\frac{\varepsilon}{D},\qquad \pi_3=\frac{\tau}{\rho V^{2}}.
Pela teoria, a relação entre as variáveis originais se reduz a uma relação entre os \pi-grupos. Uma forma conveniente é escrever
\frac{\tau}{\rho V^{2}}=\Phi\!\Big(\frac{\rho V D}{\mu},\;\frac{\varepsilon}{D}\Big)
ou, usando o número de Reynolds e o fator de atrito de Darcy f=8\tau/(\rho V^2),
f=F\!\Big(\mathrm{Re},\;\frac{\varepsilon}{D}\Big).
Comentário motivador: em provas costuma-se pedir exatamente para mostrar que o atrito (ou fator de fricção) depende apenas de \mathrm{Re} e \varepsilon/D; reconhecê-los rapidamente é a chave.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}
\displaystyle \frac{\varepsilon}{D}
\displaystyle \frac{\tau}{\rho V^{2}}

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