5 QUESTÃO (1,0) : A cápsula esférica ilustrada a seguir é usada para liberação sustentada e de longo prazo de fármacos. Uma solução líquida saturada contendo o fármaco dissolvido (soluto A) é encapsulada dentro de uma casca rígida semelhante a um gel. A solução saturada contém um aglomerado de sólido A, que mantém a concentração dissolvida de A saturada
dentro do núcleo líquido da cápsula. O soluto A então difunde-se através da casca semelhante a um gel (a fase gel) para o ambiente externo.
Eventualmente, a fonte de A se esgota e a quantidade de soluto A dentro do núcleo líquido diminui com o tempo. No entanto, enquanto o aglomerado de sólido A existir dentro do núcleo, a solução fonte está saturada em A e a concentração cA é constante. O coeficiente de difusão do soluto A na fase gel B é \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=1,5 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. As concentrações do soluto A na fase gel nos limites da casca são
@ r=R_{1}=0.2 \mathrm{~cm}, \quad c_{A}=c_{A s}=c_{A}=0.01 \mathrm{~g} \mathrm{~mol} / \mathrm{cm}^{3}, the solubility limit of A in the gel.
@ r=R_{0}=0.35 \mathrm{~cm}, c_{A}=c_{A o}.
a) Apresente as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão.
b) Desenvolva a equação analítica integrada final para determinar a taxa total de liberação do fármaco, \mathrm{W}_{\mathrm{A}}, das cápsulas sob a condição em que a concentração de A dentro do núcleo líquido da cápsula permanece constante.

Passo 1

O enunciado dá uma cápsula esférica com uma casca (fase gel) através da qual o soluto A difunde radialmente do núcleo para o exterior. Dados e condições fornecidas:
  • Raio interno da casca (superfície núcleo/gel): R_{1}=0{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Raio externo da casca (superfície gel/ambiente): R_{0}=0{,}35\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de difusão do soluto A na fase gel: D_{AB}=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
  • Concentração do soluto na interface núcleo/gel (devido ao sólido saturante dentro do núcleo): c_A(R_1)=c_{As}=0{,}01\\ \mathrm{g\\ mol}/\mathrm{cm}^{3} (constante enquanto houver sólido).
  • Concentração na superfície externa: c_A(R_0)=c_{Ao} (valor conhecido ou medido).
    O enunciado pede:
    (a) apresentar as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão;
    (b) desenvolver a equação analítica integrada final para a taxa total de liberação do fármaco \,W_A, no caso em que a concentração dentro do núcleo permanece constante (ou seja, condição de estado estacionário para o gel).

Passo 2

A primeira coisa é lembrar as leis de difusão que usamos. Vou explicar de forma simples e sem pular etapas.
Fick 1 (lei do fluxo): a taxa de transporte por difusão (fluxo molar por área) é proporcional ao gradiente de concentração, com sinal negativo porque o fluxo vai do mais concentrado para o menos concentrado. Em notação vetorial:
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla c_A.
Aqui:
  • \mathbf{N}_A é o fluxo molar de A (unidade por exemplo \mathrm{mol}/\mathrm{cm}^2\mathrm{s}),
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão ( \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}),
  • c_A é a concentração de A ( \mathrm{mol}/\mathrm{cm}^3 ou conforme unidade do enunciado),
  • \nabla c_A é o gradiente espacial de c_A.
Como o problema tem simetria esférica (apenas variação radial), só existe componente radial do fluxo. Em coordenadas esféricas (simetria radial):
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\,\frac{\partial c_A}{\partial r}.
Isto é a forma diferencial da lei do fluxo no caso radial.

Passo 3

Agora a equação de conservação de massa (balanço diferencial): a taxa de acumulação de A numa pequena região é igual à entrada líquida por fluxo mais/minus fontes. Para difusão sem geração ou consumo químico local:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{N}_A.
Em coordenadas esféricas com simetria radial a divergência de um campo radial N_{A,r}(r) é
\nabla\cdot\mathbf{N}_A = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}N_{A,r}\right).
Substituindo N_{A,r} = -D_{AB}\frac{\partial c_A}{\partial r} obtemos a equação de difusão (Fick 2 em coordenadas esféricas):
\frac{\partial c_A}{\partial t} = D_{AB}\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial c_A}{\partial r}\right).
Explicando os termos:
  • O lado esquerdo é a variação temporal local de concentração (acumulação),
  • O lado direito descreve a curvatura radial do perfil de concentração multiplicada por D_{AB}.
Estas são as formas diferenciais requeridas: a equação do fluxo radial e a equação diferencial de transferência de massa (tempo e espaço).

Passo 4

Para obter a taxa total de liberação W_A sob a condição “concentração no núcleo constante enquanto houver sólido”, usamos a hipótese de regime estacionário no gel (não há acumulação no gel): \partial c_A/\partial t = 0. Assim a equação de difusão reduz-se a
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d r}\!\left(r^{2}\frac{d c_A}{d r}\right)=0.
Esta é uma ODE ordinária em r. Vamos integrá-la passo a passo:
Integrando uma vez:
r^{2}\frac{d c_A}{d r} = C_1,
onde C_1 é constante de integração. Isolando:
\frac{d c_A}{d r} = \frac{C_1}{r^{2}}.
Integramos novamente:
c_A(r) = C_2 - \frac{C_1}{r},
onde C_2 é outra constante de integração. Para ficar com sinais agradáveis, escrevemos a solução geral também na forma
c_A(r) = B + \frac{C}{r},
sendo C=-C_1 e B=C_2. É uma forma clássica para problemas esféricos: concentração é combinação de constante mais termo 1/r.

Passo 5

Agora aplicamos as condições de contorno que o enunciado deu:
c_A(R_1)=c_{As},\qquad c_A(R_0)=c_{Ao}.
Usando c_A(r)=B+\dfrac{C}{r} temos o sistema
c_{As} = B + \frac{C}{R_1},\qquad c_{Ao} = B + \frac{C}{R_0}.
Subtraindo as duas equações:
c_{As}-c_{Ao} = C\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_0}\right).
Assim a constante C vale
C = \frac{c_{As}-c_{Ao}}{\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_0}} = (c_{As}-c_{Ao})\frac{R_0R_1}{R_0-R_1}.
A constante B pode ser obtida por B = c_{Ao}-\dfrac{C}{R_0}, se precisar do perfil completo. Logo o perfil de concentração no gel é
c_A(r) = c_{Ao} + (c_{As}-c_{Ao})\frac{R_0R_1}{R_0-R_1}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_0}\right),
ou, de forma mais compacta,
c_A(r)=B+\frac{C}{r}\quad\text{com}\quad C=(c_{As}-c_{Ao})\frac{R_0R_1}{R_0-R_1}.

Passo 6

Com o perfil em mãos calculamos o fluxo radial e a taxa total de liberação. O fluxo radial é
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\frac{d c_A}{d r}.
Usando c_A(r)=B+\dfrac{C}{r} temos \dfrac{d c_A}{d r} = -\dfrac{C}{r^{2}}. Então
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\left(-\frac{C}{r^{2}}\right)=D_{AB}\frac{C}{r^{2}}.
A taxa total de liberação (taxa molar que sai da cápsula), que chamo de W_A (unidade por exemplo \mathrm{mol}/\mathrm{s}), é o fluxo multiplicado pela área esférica de seção:
W_A = \dot{n}_A = 4\pi r^{2} N_{A,r}(r).
Substituindo N_{A,r} obtemos
W_A = 4\pi r^{2}\left(D_{AB}\frac{C}{r^{2}}\right)=4\pi D_{AB} C,
ou seja a taxa é independente da posição r (esperado em regime estacionário). Substituindo C achado no passo anterior:
W_A = 4\pi D_{AB}\,\frac{R_0R_1}{R_0-R_1}\,(c_{As}-c_{Ao}).
Esta é a expressão analítica final para a taxa total de liberação em regime estacionário (concentração no núcleo constante).
Observações práticas:
  • A unidade de W_A segue das unidades de D_{AB} (cm^2/s), R (cm) e c_A (mol/cm^3): resulta em \mathrm{mol}/\mathrm{s}.
  • Se for desejada a taxa em massa ( \mathrm{g}/\mathrm{s}), multiplica-se W_A pela massa molar M_A do fármaco: W_A^{\text{(massa)}} = M_A\,W_A.

Resposta

(a) Lei do fluxo (radial) e equação diferencial de transferência de massa:
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\frac{\partial c_A}{\partial r},
\frac{\partial c_A}{\partial t} = D_{AB}\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial c_A}{\partial r}\right).
(b) Taxa total de liberação em regime estacionário com c_A(R_1)=c_{As} constante:
W_A = 4\pi D_{AB}\,\frac{R_0R_1}{R_0-R_1}\,(c_{As}-c_{Ao}).

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