5 QUESTÃO
: A cápsula esférica ilustrada a seguir é usada para liberação sustentada e de longo prazo de fármacos. Uma solução líquida saturada contendo o fármaco dissolvido (soluto A) é encapsulada dentro de uma casca rígida semelhante a um gel. A solução saturada contém um aglomerado de sólido A, que mantém a concentração dissolvida de A saturada
dentro do núcleo líquido da cápsula. O soluto A então difunde-se através da casca semelhante a um gel (a fase gel) para o ambiente externo.
Eventualmente, a fonte de A se esgota e a quantidade de soluto A dentro do núcleo líquido diminui com o tempo. No entanto, enquanto o aglomerado de sólido A existir dentro do núcleo, a solução fonte está saturada em A e a concentração cA é constante. O coeficiente de difusão do soluto A na fase gel B é
. As concentrações do soluto A na fase gel nos limites da casca são
@
, the solubility limit of A in the gel.
@
.
a) Apresente as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão.
b) Desenvolva a equação analítica integrada final para determinar a taxa total de liberação do fármaco,
, das cápsulas sob a condição em que a concentração de A dentro do núcleo líquido da cápsula permanece constante.
dentro do núcleo líquido da cápsula. O soluto A então difunde-se através da casca semelhante a um gel (a fase gel) para o ambiente externo.
Eventualmente, a fonte de A se esgota e a quantidade de soluto A dentro do núcleo líquido diminui com o tempo. No entanto, enquanto o aglomerado de sólido A existir dentro do núcleo, a solução fonte está saturada em A e a concentração cA é constante. O coeficiente de difusão do soluto A na fase gel B é
@
@
a) Apresente as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão.
b) Desenvolva a equação analítica integrada final para determinar a taxa total de liberação do fármaco,
Passo 1
O enunciado dá uma cápsula esférica com uma casca (fase gel) através da qual o soluto
difunde radialmente do núcleo para o exterior. Dados e condições fornecidas:
- Raio interno da casca (superfície núcleo/gel):
. - Raio externo da casca (superfície gel/ambiente):
. - Coeficiente de difusão do soluto
na fase gel: . - Concentração do soluto na interface núcleo/gel (devido ao sólido saturante dentro do núcleo):
(constante enquanto houver sólido). - Concentração na superfície externa:
(valor conhecido ou medido).
O enunciado pede:
(a) apresentar as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão;
(b) desenvolver a equação analítica integrada final para a taxa total de liberação do fármaco, no caso em que a concentração dentro do núcleo permanece constante (ou seja, condição de estado estacionário para o gel).
Passo 2
A primeira coisa é lembrar as leis de difusão que usamos. Vou explicar de forma simples e sem pular etapas.
Fick 1 (lei do fluxo): a taxa de transporte por difusão (fluxo molar por área) é proporcional ao gradiente de concentração, com sinal negativo porque o fluxo vai do mais concentrado para o menos concentrado. Em notação vetorial:
Aqui:
-
é o fluxo molar de (unidade por exemplo ), -
é o coeficiente de difusão ( ), -
é a concentração de ( ou conforme unidade do enunciado), -
é o gradiente espacial de .
Como o problema tem simetria esférica (apenas variação radial), só existe componente radial do fluxo. Em coordenadas esféricas (simetria radial):
Isto é a forma diferencial da lei do fluxo no caso radial.
Passo 3
Agora a equação de conservação de massa (balanço diferencial): a taxa de acumulação de
numa pequena região é igual à entrada líquida por fluxo mais/minus fontes. Para difusão sem geração ou consumo químico local:
Em coordenadas esféricas com simetria radial a divergência de um campo radial
é
Substituindo
obtemos a equação de difusão (Fick 2 em coordenadas esféricas):
Explicando os termos:
- O lado esquerdo é a variação temporal local de concentração (acumulação),
- O lado direito descreve a curvatura radial do perfil de concentração multiplicada por
.
Estas são as formas diferenciais requeridas: a equação do fluxo radial e a equação diferencial de transferência de massa (tempo e espaço).
Passo 4
Para obter a taxa total de liberação
sob a condição “concentração no núcleo constante enquanto houver sólido”, usamos a hipótese de regime estacionário no gel (não há acumulação no gel):
. Assim a equação de difusão reduz-se a
Esta é uma ODE ordinária em
. Vamos integrá-la passo a passo:
Integrando uma vez:
Integrando uma vez:
onde
é constante de integração. Isolando:
Integramos novamente:
onde
é outra constante de integração. Para ficar com sinais agradáveis, escrevemos a solução geral também na forma
sendo
e
. É uma forma clássica para problemas esféricos: concentração é combinação de constante mais termo
.
Passo 5
Agora aplicamos as condições de contorno que o enunciado deu:
Usando
temos o sistema
Subtraindo as duas equações:
Assim a constante
vale
A constante
pode ser obtida por
, se precisar do perfil completo. Logo o perfil de concentração no gel é
ou, de forma mais compacta,
Passo 6
Com o perfil em mãos calculamos o fluxo radial e a taxa total de liberação. O fluxo radial é
Usando
temos
. Então
A taxa total de liberação (taxa molar que sai da cápsula), que chamo de
(unidade por exemplo
), é o fluxo multiplicado pela área esférica de seção:
Substituindo
obtemos
ou seja a taxa é independente da posição
(esperado em regime estacionário). Substituindo
achado no passo anterior:
Esta é a expressão analítica final para a taxa total de liberação em regime estacionário (concentração no núcleo constante).
Observações práticas:
- A unidade de
segue das unidades de (cm^2/s), (cm) e (mol/cm^3): resulta em . - Se for desejada a taxa em massa (
), multiplica-se pela massa molar do fármaco: .
Resposta
(a) Lei do fluxo (radial) e equação diferencial de transferência de massa:
(b) Taxa total de liberação em regime estacionário com
constante: