Questão 5
Entre 500 pessoas inquiridas a respeito de suas preferências eleitorais, 260 mostraram-se favoráveis ao candidato B. Calcular o intervalo de confiança ao nível de 90 \% para a porcentagem (ou proporção) dos eleitores favoráveis a B.

Passo 1

O enunciado apresenta n=500 entrevistas e x=260 manifestaram preferência pelo candidato B. O conteúdo aqui é intervalo de confiança para proporção populacional p usando aproximação normal.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{260}{500} = 0,52.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal: \;n\hat p = 500\cdot0,52=260\ge10 e \;n(1-\hat p)=500\cdot0,48=240\ge10.
Logo, \hat{p} é aproximadamente normal com desvio padrão \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}.

Passo 4

Para nível de confiança de 90 %, o valor crítico da distribuição normal é
z^* = 1,645.

Passo 5

Calculamos o erro padrão da proporção:
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,52\cdot0,48}{500}} \approx0,02235.

Passo 6

O erro máximo E do intervalo é
E = z^*\times\mathrm{SE} = 1,645\times0,02235 \approx0,0368.

Passo 7

O intervalo de confiança para p é
\hat p \pm E = 0,52 \pm 0,0368,
isto é o intervalo de
[\,0,4832,\;0,5568\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para a proporção de eleitores favoráveis a B é
[\,48,32\%,\;55,68\%\,].

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