Questão 4
Pesaram-se 16 sacos de café e, com os pesos observados, em gramas, construiuse o seguinte intervalo de confiança a 95 \%, para o vaor médio do peso de um saco: [1000,74;1009,26].
Deduza o valor médio e o desvio padrão do peso dos sacos que constituem a amostra, admitindo normalidade da população.

Passo 1

O enunciado diz que, com uma amostra de n=16 sacos de café, construiu-se um intervalo de confiança de 95\% para o peso médio \mu, obtido como [1000,74;1009,26]. Precisamos encontrar a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s, supondo população normal.

Passo 2

A média amostral \bar{x} aparece como o ponto central do intervalo de confiança. Logo,
\bar{x} = \frac{1000,74 + 1009,26}{2} = \frac{2010}{2} = 1005\quad\text{gramas}.

Passo 3

O erro-padrão multiplicado pelo valor crítico da t de Student gera a meia-amplitude do intervalo. A meia-amplitude (margem de erro) é
E = 1009,26 - \bar{x} = 1009,26 - 1005 = 4,26\quad\text{gramas}.

Passo 4

Sabendo que para n-1=15 graus de liberdade e nível de confiança 95\% o quantil de 0,975 da t é aproximadamente t_{15,0,975}=2,131, temos
E = t_{15,0,975}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{E\,\sqrt{n}}{t_{15,0,975}} = \frac{4,26 \times \sqrt{16}}{2,131} = \frac{4,26 \times 4}{2,131} \approx 8,00\quad\text{gramas}.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=1005 g
Desvio-padrão amostral: s\approx8{,}00 g

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