Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração dos mesmos. No processo tradicional, o tempo X se distribui normalmente com média \mu_{T} e variância \sigma_{1}^{2} e no processo alternativo, o tempo Y se distribui normalmente com média \mu_{A} e variância \sigma_{2}^{2}.
Foram sorteadas duas amostras independentes de cada processo e obtidos os seguintes resultados:
Processo Tamanho da amostra Tempo médio Variância
Tradicional (T) 16 50 95
Alternativo (A) 25 60 105
Para verificar se os dois processos têm o mesmo desempenho, decidiu-se construir um intervalo de confiança para \mu_{T}-\mu_{A}. Construa tal intervalo, com nível de significância de 5 \% e conclua se existe ou não evidencia de igualdade entre os dois processos. Justifique sua resposta.
b) Considere as variâncias populacionais desconhecidas, porém diferentes. Faça um teste para comparação de médias com \alpha=1 \%.

Passo 1

O enunciado compara dois processos independentes com amostras de tamanhos n_{T}=16 e n_{A}=25, médias amostrais \bar X=50 e \bar Y=60 e variâncias amostrais s_{1}^{2}=95 e s_{2}^{2}=105. Queremos (a) um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{T}-\mu_{A} e (b) um teste bilateral de igualdade de médias com \alpha=1\%, assumindo variâncias populacionais desconhecidas e diferentes (procedimento de Welch).

Passo 2

Calculamos a diferença amostral e seu erro‐padrão. Temos
\widehat{\Delta} = \bar X - \bar Y = 50 - 60 = -10
\mathrm{SE}(\widehat{\Delta}) = \sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{T}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{A}}} = \sqrt{\frac{95}{16} + \frac{105}{25}} = \sqrt{5{,}9375 + 4{,}2} = \sqrt{10{,}1375} \approx 3{,}184

Passo 3

Aproximamos os graus de liberdade pelo método de Welch–Satterthwaite:
\nu \approx \frac{\bigl(\tfrac{s_{1}^{2}}{n_{T}} + \tfrac{s_{2}^{2}}{n_{A}}\bigr)^{2}} {\displaystyle \frac{\bigl(\tfrac{s_{1}^{2}}{n_{T}}\bigr)^{2}}{n_{T}-1} + \frac{\bigl(\tfrac{s_{2}^{2}}{n_{A}}\bigr)^{2}}{n_{A}-1}} = \frac{10{,}1375^{2}}{\frac{5{,}9375^{2}}{15}+\frac{4{,}2^{2}}{24}} \approx 33{,}3.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 95\% (nível de significância 5\%), usamos t_{0{,}975;\,\nu}\approx t_{0{,}975;33}=2{,}035. Logo,
\text{IC}_{95\%}: \widehat{\Delta} \pm t_{0{,}975;\,\nu}\,\mathrm{SE} = -10 \pm 2{,}035 \times 3{,}184 = -10 \pm 6{,}48
\boxed{(-16{,}48,\,-3{,}52)}.

Passo 5

Como o intervalo (-16{,}48,\,-3{,}52) não contém zero, há evidência de que \mu_{T}\neq\mu_{A}. Na verdade \mu_{T}-\mu_{A} é negativa, indicando que o processo tradicional dura menos que o alternativo.

Passo 6

No teste bilateral com \alpha=1\%, o estatístico de teste é
T = \frac{\widehat{\Delta} - 0}{\mathrm{SE}} = \frac{-10}{3{,}184} \approx -3{,}14.
O valor crítico é t_{0{,}995;\,\nu}\approx t_{0{,}995;33}=2{,}733, logo rejeitamos H_{0} se \lvert T\rvert>2{,}733.

Passo 7

Como \lvert T\rvert=3{,}14>2{,}733, rejeitamos H_{0} a 1\%. Concluímos novamente que as médias são diferentes.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95\% para \mu_{T}-\mu_{A} é
(-16{,}48,\,-3{,}52),
o que não contém zero, indicando diferença entre processos.
b) No teste bilateral com \alpha=1\%, obtém‐se T\approx -3{,}14 e t_{0{,}995;33}=2{,}733. Como \lvert T\rvert>2{,}733, rejeita‐se H_{0}, confirmando que as médias são distintas.

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