Questão 51. Prove que
;
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
Informações relevantes dadas:
- A função a transformar é
, com . -
é uma constante real. -
é a variável do transformado (assume-se suficientemente grande para garantir convergência, por exemplo ). - O operador
indica a transformação integral .
Passo 2
Definição útil e propriedade que vamos usar (vou demonstrar essa propriedade passo a passo):
Para uma função adequada (por exemplo, contínua por partes e de ordem exponencial), a transformada é
Para uma função
Se derivarmos esse lado em relação a
e justificarmos a troca de derivada e integral (condições de crescimento que normalmente são satisfeitas), obtemos
Portanto surge a propriedade fundamental
Isto é, invertendo o sinal,
Essa propriedade é muito prática: para obter
basta conhecer
e derivar.
Passo 3
Calcular
.
Pela definição,
Pela definição,
Uma forma direta (usando a parte real de uma exponencial complexa) é notar que
Para
a integral geométrica converge e dá
Tomando a parte real,
Logo temos
Passo 4
Aplicar a propriedade derivativa para obter
.
Pela propriedade do Passo 2,
Pela propriedade do Passo 2,
Agora calculamos a derivada passo a passo. Usando a regra do quociente,
Simplificando o numerador:
Portanto
Com o sinal negativo pedido,
Passo 5
Comentário didático rápido (modo amigo): a ideia principal aqui é decorar (ou saber derivar) duas coisas simples:
e a propriedade
. Com essas duas peças o resto é só derivar com calma e simplificar — nada de contas inacreditáveis. Se preferir, dá pra fazer a integral direta por partes de
, mas é mais trabalhosa e dá na mesma.