Questão 51. Prove que
\mathcal{L}\{t \cos (a t)\}=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\mathcal{L}\{t\cos(at)\}=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a transformar é t\mapsto t\cos(at), com t\ge 0.
  • a é uma constante real.
  • s é a variável do transformado (assume-se s suficientemente grande para garantir convergência, por exemplo s>0).
  • O operador \mathcal{L}\{\cdot\} indica a transformação integral \mathcal{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Definição útil e propriedade que vamos usar (vou demonstrar essa propriedade passo a passo):
Para uma função f adequada (por exemplo, contínua por partes e de ordem exponencial), a transformada é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Se derivarmos esse lado em relação a s e justificarmos a troca de derivada e integral (condições de crescimento que normalmente são satisfeitas), obtemos
\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}f(t)\bigr)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt.
Portanto surge a propriedade fundamental
\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f\}(s)=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Isto é, invertendo o sinal,
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f\}(s).
Essa propriedade é muito prática: para obter \mathcal{L}\{t\cos(at)\} basta conhecer \mathcal{L}\{\cos(at)\} e derivar.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{\cos(at)\}.
Pela definição,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt.
Uma forma direta (usando a parte real de uma exponencial complexa) é notar que
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt=\Re\!\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{i a t}\,dt =\Re\!\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt.
Para \Re(s-i a)=s>0 a integral geométrica converge e dá
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a}.
Tomando a parte real,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right) =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Logo temos
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Aplicar a propriedade derivativa para obter \mathcal{L}\{t\cos(at)\}.
Pela propriedade do Passo 2,
\mathcal{L}\{t\cos(at)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s) =-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right).
Agora calculamos a derivada passo a passo. Usando a regra do quociente,
\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right) =\frac{(1)(s^{2}+a^{2})-s(2s)}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
(1)(s^{2}+a^{2})-s(2s)=s^{2}+a^{2}-2s^{2}=a^{2}-s^{2}.
Portanto
\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Com o sinal negativo pedido,
\mathcal{L}\{t\cos(at)\}(s)=-\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 5

Comentário didático rápido (modo amigo): a ideia principal aqui é decorar (ou saber derivar) duas coisas simples: \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. Com essas duas peças o resto é só derivar com calma e simplificar — nada de contas inacreditáveis. Se preferir, dá pra fazer a integral direta por partes de \int_{0}^{\infty}t e^{-st}\cos(at)\,dt, mas é mais trabalhosa e dá na mesma.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\cos(at)\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}

Exercícios relacionados