Questão 52 (CESGRANRIO / Liquigás - 2018). Uma empresa faz uma aplicação no valor de \mathrm{R} \$\(1.000.000, 00, em um fundo que remunera a uma taxa de 1\% ao mês, no regime de juros compostos. Após dois anos, a empresa resgatou o dinheiro, pagando exatamente duas taxas, ambas aplicadas sobre os juros da operação, sendo elas:\)15 \%\(de imposto de renda e\)10 \%\(de taxa de performance. Considere para os cálculos que\)1,01^{24}=1,27. O valor mais próximo da rentabilidade líquida (já descontadas as taxas) da operação, em reais, é igual a ?

Passo 1

O enunciado pede a rentabilidade líquida, em reais, de uma aplicação inicial de \text{R\$ }1.000.000,00 feita a juros compostos de 1\% ao mês durante 2 anos, já descontadas duas taxas aplicadas sobre os juros: 15\% de imposto de renda e 10\% de taxa de performance. Informações dadas e perguntas claras:
  • Capital inicial: P=\text{R\$ }1.000.000,00.
  • Taxa mensal: i=1\%=0,01.
  • Período: 2 anos = 24 meses.
  • Fator dado: 1{,}01^{24}=1{,}27 (usar esse valor).
  • Taxas sobre os juros: 15\% (IR) e 10\% (performance), ambas aplicadas sobre os juros da operação.
  • O que se pede: a rentabilidade líquida em reais (ou seja, o ganho líquido obtido após descontar as taxas).

Passo 2

Entendendo juros compostos e como calcular o montante acumulado: a fórmula dos juros compostos é
A = P(1+i)^n,
onde:
  • A é o montante (valor final acumulado),
  • P é o capital inicial,
  • i é a taxa por período (em forma decimal),
  • n é o número de períodos.
Aqui temos P=\text{R\$ }1.000.000, i=0{,}01 e n=24. Usando o fator fornecido 1{,}01^{24}=1{,}27, obtemos o montante bruto:
A_{\text{bruto}} = \text{R\$}1.000.000 \times 1{,}27 = \text{R\$ }1.270.000.

Passo 3

Calcular os juros brutos gerados pela aplicação: os juros brutos são a diferença entre o montante e o principal,
J_{\text{bruto}} = A_{\text{bruto}} - P = \text{R\$}1.270.000 - \text{R\$ }1.000.000 = \text{R\$ }270.000.

Passo 4

Entender como as taxas incidem: o enunciado afirma que ambas as taxas são aplicadas sobre os juros da operação. Isso significa que cada taxa é uma porcentagem do valor J_{\text{bruto}}. São:
  • imposto de renda: 15\% de J_{\text{bruto}},
  • taxa de performance: 10\% de J_{\text{bruto}}.
Como ambas incidem sobre o mesmo montante de juros, a dedução total percentual sobre os juros é
15\% + 10\% = 25\% = 0{,}25.

Passo 5

Calcular o valor total das taxas (dedução sobre os juros):
\text{Taxas} = 0{,}25 \times J_{\text{bruto}} = 0{,}25 \times \text{R\$}270.000 = \text{R\$ }67.500.

Passo 6

Calcular os juros líquidos após desconto das taxas:
J_{\text{líquido}} = J_{\text{bruto}} - \text{Taxas} = \text{R\$}270.000 - \text{R\$ }67.500 = \text{R\$ }202.500.í
Esse é o ganho efetivo (rentabilidade líquida) obtido sobre o capital inicial.

Passo 7

(Verificação rápida) Montante final líquido seria
A_{\text{líquido}} = P + J_{\text{líquido}} = \text{R\$}1.000.000 + \text{R\$ }202.500 = \text{R\$ }1.202.500,íí
o que confirma que os números estão consistentes.

Resposta

\text{R\$ }202.500,00

Exercícios relacionados