Questão 54 (CESGRANRIO /BB - 2015). Uma conta de R \ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é deêééçãçãé3 %$ ao mês, o juro cobrado foi de ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho para não nos perdermos):
  • O valor da conta (principal) é R\$\,1.000,00.
  • O pagamento foi atrasado de 2 meses e 10 dias.
  • Foi adotado mês comercial de 30 dias.
  • Para os 2 meses foi usada a capitalização composta (juros compostos).
  • Para os 10 dias seguintes foi usado o regime de capitalização simples (juros simples), aplicado sobre o montante resultante dos 2 meses.
  • A taxa de juros é de 3\% ao mês, ou seja, i=0,03 ao mês.
O que o problema pede: calcular o juro cobrado (em reais) por esse atraso.

Passo 2

Vamos organizar a estratégia sem complicar: primeiro aplicamos juros compostos pelos 2 meses, obtendo um montante após esses 2 meses; depois sobre esse montante aplicamos juros simples relativos aos 10 dias. Vou explicar a teoria que usamos.
Fórmula de juros compostos para n períodos: o montante A a partir do principal P é
A = P(1+i)^{n},
onde i é a taxa por período e n é o número de períodos. Aqui P=R\$\,1.000,00, i=0,03 e n=2 meses. Então o montante após os 2 meses é
A_{2} = P(1+i)^{2}.
Agora calculamos numericamente passo a passo. Primeiro calculamos (1+i)^{2}:
(1+0,03)^{2} = 1,03^{2} = 1,0609.
Portanto
A_{2} = R\$\,1.000,00 \times 1,0609 = R\$\,1.060,90.
(Expliquei cada passo: multiplicar 1.000 por 1,0609 1.060,90.)

Passo 3

Agora vamos aos 10 dias, com juros simples. Primeiro definimos a taxa diária no mês comercial: como o mês comercial tem 30 dias, a taxa diária é
i_{d} = \frac{i}{30} = \frac{0,03}{30} = 0,001.
Em juros simples, para t dias a fatorização do montante é
A = A_{2}\bigl(1 + i_{d}\,t\bigr).
Aqui t=10, então o fator para os 10 dias é
1 + i_{d}\,t = 1 + 0,001\times 10 = 1 + 0,01 = 1,01.
Aplicando sobre A_{2}:
A_{\text{final}} = A_{2}\times 1,01 = R\$\,1.060,90 \times 1,01.
Calculemos:
R\$\,1.060,90 \times 1,01 = R\$\,1.060,90 + R\$\,10,609 = R\$\,1.071,509.
(Em moeda normalmente arredondamos depois, mas por enquanto mantenho o valor exato R\$\,1.071,509.)

Passo 4

O juro total cobrado é a diferença entre o montante final e o principal:
J = A_{\text{final}} - P.
Substituindo os valores:
J = R\$\,1.071,509 - R\$\,1.000,00 = R\$\,71,509.
Em centavos (arredondando para duas casas decimais, como é usual em dinheiro), R\$\,71,509 fica R\$\,71,51 (pois a terceira casa decimal é 9, que arredonda a segunda casa para cima).

Resposta

R\$\,71,51

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