Questão 51 (CESGRANRIO / BB - 2018). Um contrato de prestação de serviços prevê, em caso de atraso do pagamento do serviço realizado, a cobrança de juros de
ao mês, sobre o saldo devedor, ou seja, no regime de juros compostos. Além disso, há uma multa adicional de
sobre o valor do serviço previsto no contrato. Considere que o comprador pagou com atraso de 6 meses um contrato nesses moldes, cujo valor era de 100 milhões de reais, e que nenhum pagamento intermediário fora efetuado nesse período. Dado:
Assim, o valor mais próximo do total pago nessa operação, incluindo multa e juros, foi de ?
Passo 1
O enunciado pede o total pago, incluindo multa e juros, quando um contrato de valor
milhões de reais foi pago com atraso de
meses, sem pagamentos intermediários. Informações dadas e relevantes:
- Valor do serviço (capital):
. - Multa:
sobre o valor do serviço (aplicada uma vez). - Juros:
ao mês, compostos, sobre o saldo devedor. - Atraso:
meses. - Dado numérico fornecido:
.
A pergunta: qual o valor mais próximo do total pago incluindo multa e juros?
Passo 2
Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
- Converter porcentagens em decimais:
e . Isso é só dividir por . - Juros compostos: quando não há pagamentos intermédios, o montante depois de
períodos é dado por
onde
é o capital inicial,
é a taxa por período (em decimal) e
o número de períodos.
- No nosso caso temos também uma multa de
que aumenta o saldo devedor inicial. A forma prática (e a interpretação usual em contratos) é adicionar a multa ao débito e, sobre esse novo saldo, incidir os juros compostos pelo tempo de atraso. Assim o procedimento é multiplicar primeiro por onde é a multa, e depois aplicar .
Passo 3
Por que escolhemos adicionar a multa antes de capitalizar os juros?
- A multa é um acréscimo ao saldo devido (é cobrada sobre o valor do contrato) e o enunciado diz juros sobre o “saldo devedor”. Logo o saldo devedor inclui a multa, que por sua vez sofre juros compostos enquanto houver atraso. Essa interpretação é a prática comum e a mais consistente com o enunciado.
Passo 4
Montando a expressão com os números:
- Multa
. - Juros mensais
. -
.
Então o montante a pagar é
Substituindo:
Passo 5
Usando o dado
:
Calcule passo a passo a multiplicação
:
- Multiplicar por
é o mesmo que somar ao valor: . -
. - Então
.
Portanto
Passo 6
Agora multiplicar pelo capital:
- Mover a vírgula 8 casas (porque
):
Em reais isso é
.