Questão 51 (CESGRANRIO / BB - 2018). Um contrato de prestação de serviços prevê, em caso de atraso do pagamento do serviço realizado, a cobrança de juros de 1 \% ao mês, sobre o saldo devedor, ou seja, no regime de juros compostos. Além disso, há uma multa adicional de 2 \% sobre o valor do serviço previsto no contrato. Considere que o comprador pagou com atraso de 6 meses um contrato nesses moldes, cujo valor era de 100 milhões de reais, e que nenhum pagamento intermediário fora efetuado nesse período. Dado: 1,016=1,06152 Assim, o valor mais próximo do total pago nessa operação, incluindo multa e juros, foi de ?

Passo 1

O enunciado pede o total pago, incluindo multa e juros, quando um contrato de valor \,100 milhões de reais foi pago com atraso de 6 meses, sem pagamentos intermediários. Informações dadas e relevantes:
  • Valor do serviço (capital): P = 100\,000\,000.
  • Multa: 2\% sobre o valor do serviço (aplicada uma vez).
  • Juros: 1\% ao mês, compostos, sobre o saldo devedor.
  • Atraso: n = 6 meses.
  • Dado numérico fornecido: \,1{,}01^{6} = 1{,}06152.
    A pergunta: qual o valor mais próximo do total pago incluindo multa e juros?

Passo 2

Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
  • Converter porcentagens em decimais: 1\% = 0{,}01 e 2\% = 0{,}02. Isso é só dividir por 100.
  • Juros compostos: quando não há pagamentos intermédios, o montante depois de n períodos é dado por
A = P\,(1+i)^{n},
onde P é o capital inicial, i é a taxa por período (em decimal) e n o número de períodos.
  • No nosso caso temos também uma multa de 2\% que aumenta o saldo devedor inicial. A forma prática (e a interpretação usual em contratos) é adicionar a multa ao débito e, sobre esse novo saldo, incidir os juros compostos pelo tempo de atraso. Assim o procedimento é multiplicar primeiro por (1+f) onde f é a multa, e depois aplicar (1+i)^{n}.

Passo 3

Por que escolhemos adicionar a multa antes de capitalizar os juros?
  • A multa é um acréscimo ao saldo devido (é cobrada sobre o valor do contrato) e o enunciado diz juros sobre o “saldo devedor”. Logo o saldo devedor inclui a multa, que por sua vez sofre juros compostos enquanto houver atraso. Essa interpretação é a prática comum e a mais consistente com o enunciado.

Passo 4

Montando a expressão com os números:
  • Multa f = 0{,}02.
  • Juros mensais i = 0{,}01.
  • n = 6.
    Então o montante a pagar é
A = P\,(1+f)\,(1+i)^{n}.
Substituindo:
A = 100\,000\,000 \cdot (1+0{,}02)\cdot(1+0{,}01)^{6}.

Passo 5

Usando o dado (1{,}01)^{6} = 1{,}06152:
A = 100\,000\,000 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}06152.
Calcule passo a passo a multiplicação 1{,}02\cdot 1{,}06152:
  • Multiplicar por 1{,}02 é o mesmo que somar 2\% ao valor: 1{,}06152 + 0{,}02\cdot 1{,}06152.
  • 0{,}02\cdot 1{,}06152 = 0{,}0212304.
  • Então 1{,}06152 + 0{,}0212304 = 1{,}0827504.
    Portanto
A = 100\,000\,000 \cdot 1{,}0827504.

Passo 6

Agora multiplicar pelo capital:
  • Mover a vírgula 8 casas (porque 100\,000\,000 = 10^{8}):
A = 108\,275\,040.
Em reais isso é R\$\,108.275.040.

Resposta

\text{R\$ }108\,275\,040

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