Questão 50 (CESGRANRIO / BB - 2015). João tomou um empréstimo de R
900,00
10 %
$600,00$ e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
- João tomou um empréstimo de
no instante inicial (vou chamar esse instante de mês ). - A taxa de juros é de
ao mês (isto é, por mês o montante multiplica por ). - Dois meses depois (mês
) João pagou . - Um mês após esse pagamento (ou seja, no mês
) João liquidou o empréstimo com um pagamento final cujo valor precisamos achar. - Pergunta: qual foi, aproximadamente, o valor desse último pagamento em reais?
Essas são todas as informações que o enunciado dá e a pergunta que precisamos responder.
Passo 2
Vamos entender a ideia de juros compostos de forma simples e prática (mini-aula): em juros compostos, um capital
aplicado por
períodos com taxa por período
cresce para o montante
Aqui:
-
é o capital inicial (ou saldo devido em um instante), -
é a taxa por período (como decimal; por exemplo vira ), -
é o número de períodos, -
é o montante acumulado no fim de períodos.
No nosso problema usamos essa ideia para mover valores ao mesmo instante no tempo (podemos trazer tudo para um mesmo mês, por exemplo mês
), somando o efeito dos juros.
Passo 3
Monte o raciocínio no tempo (linha do tempo): o empréstimo inicial de
foi tomado em
e, se não houvesse pagamentos, no mês
(três meses depois) ele teria crescido para
Explicando: usamos
,
e
.
Passo 4
Agora trate o pagamento que João fez em
(mês 2). Esse pagamento de
reduz a dívida no mês 2, mas se quisermos comparar com valores no mês 3 precisamos acumular esse pagamento por mais 1 mês (porque estamos trazendo tudo para o mesmo instante, mês 3). Então o valor desse pagamento observado no mês 3 vale
Explicando: multiplicamos por
porque faltava um mês para chegar ao instante de comparação (mês 3).
Passo 5
A condição de quitação no mês 3 é: montante da dívida inicial acumulado até o mês 3 = valor acumulado do pagamento de
até o mês 3 + pagamento final
no mês 3. Em fórmula:
Isolando
:
Passo 6
Agora fazemos as contas numéricas (calma, é só multiplicar números pequenos):
- Primeiro calcule
e . - Então
- E
- Subtraindo:
Eu expliquei cada multiplicação para você poder reproduzir na prova sem calculadora:
obtém-se multiplicando
; depois multiplicar por
é deslocar e somar como em qualquer multiplicação decimal simples.
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido: o resultado significa que, depois de pagar
dois meses após o empréstimo, João ainda teve que pagar cerca de
um mês depois para quitar tudo — juros continuam correndo sobre o que restou até o momento da liquidação. Você consegue fazer essa mesma técnica para qualquer problema parecido: acumular tudo para um mesmo instante e igualar débitos e créditos.