Questão 50 (CESGRANRIO / BB - 2015). João tomou um empréstimo de R \ 900,00 a juros compostos de10 % ao mês. Dois meses depois, João pagou Rêã$600,00$ e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • João tomou um empréstimo de R\$\,900{,}00 no instante inicial (vou chamar esse instante de mês 0).
  • A taxa de juros é de 10\% ao mês (isto é, por mês o montante multiplica por 1,10).
  • Dois meses depois (mês 2) João pagou R\$\,600{,}00.
  • Um mês após esse pagamento (ou seja, no mês 3) João liquidou o empréstimo com um pagamento final cujo valor precisamos achar.
  • Pergunta: qual foi, aproximadamente, o valor desse último pagamento em reais?
Essas são todas as informações que o enunciado dá e a pergunta que precisamos responder.

Passo 2

Vamos entender a ideia de juros compostos de forma simples e prática (mini-aula): em juros compostos, um capital P aplicado por n períodos com taxa por período i cresce para o montante
A = P(1+i)^n.
Aqui:
  • P é o capital inicial (ou saldo devido em um instante),
  • i é a taxa por período (como decimal; por exemplo 10\% vira 0{,}10),
  • n é o número de períodos,
  • A é o montante acumulado no fim de n períodos.
No nosso problema usamos essa ideia para mover valores ao mesmo instante no tempo (podemos trazer tudo para um mesmo mês, por exemplo mês 3), somando o efeito dos juros.

Passo 3

Monte o raciocínio no tempo (linha do tempo): o empréstimo inicial de R\$\,900{,}00 foi tomado em t=0 e, se não houvesse pagamentos, no mês 3 (três meses depois) ele teria crescido para
\text{dívida\_inicial\_no\_mês 3} = 900(1+0{,}10)^3 = 900(1,1)^3.íê
Explicando: usamos P=900, i=0{,}10 e n=3.

Passo 4

Agora trate o pagamento que João fez em t=2 (mês 2). Esse pagamento de R\$\,600{,}00 reduz a dívida no mês 2, mas se quisermos comparar com valores no mês 3 precisamos acumular esse pagamento por mais 1 mês (porque estamos trazendo tudo para o mesmo instante, mês 3). Então o valor desse pagamento observado no mês 3 vale
\text{valor do pagamento de 600 no mês 3} = 600(1+0{,}10) = 600(1,1).ê
Explicando: multiplicamos por (1+i) porque faltava um mês para chegar ao instante de comparação (mês 3).

Passo 5

A condição de quitação no mês 3 é: montante da dívida inicial acumulado até o mês 3 = valor acumulado do pagamento de 600 até o mês 3 + pagamento final X no mês 3. Em fórmula:
900(1,1)^3 = 600(1,1) + X.
Isolando X:
X = 900(1,1)^3 - 600(1,1).

Passo 6

Agora fazemos as contas numéricas (calma, é só multiplicar números pequenos):
  • Primeiro calcule (1,1)^2 = 1,21 e (1,1)^3 = 1,331.
  • Então
900(1,1)^3 = 900\cdot 1,331 = 1\,197{,}90.
  • E
600(1,1) = 600\cdot 1,1 = 660{,}00.
  • Subtraindo:
X = 1\,197{,}90 - 660{,}00 = 537{,}90.
Eu expliquei cada multiplicação para você poder reproduzir na prova sem calculadora: (1,1)^3 obtém-se multiplicando 1,1\times1,1\times1,1; depois multiplicar por 900 é deslocar e somar como em qualquer multiplicação decimal simples.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido: o resultado significa que, depois de pagar R\$\,600 dois meses após o empréstimo, João ainda teve que pagar cerca de R\$\,537{,}90 um mês depois para quitar tudo — juros continuam correndo sobre o que restou até o momento da liquidação. Você consegue fazer essa mesma técnica para qualquer problema parecido: acumular tudo para um mesmo instante e igualar débitos e créditos.

Resposta

R\$\,537{,}90

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