Questão 53. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função
é igual a
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função cuja transformada queremos é
. - A transformada de Laplace que precisamos calcular é, por definição,
- Não foi especificado no enunciado se
e são reais ou complexos; para a validade das manipulações vamos assumir que e têm parte real positiva (isto garante convergência dos integrais). Se e forem reais e não negativos, basta tomar .
Passo 2
Escrevo a transformada usando a definição e simplifico o integrando:
Então precisamos avaliar o integral impróprio
sob a hipótese
e
.
Passo 3
Para lidar com esse tipo de integral, é prático tratar um parâmetro. Defino, para um parâmetro
com
,
onde
é um parâmetro fixo com
. No nosso caso concreto tomaremos
e
. A ideia é diferenciar
em relação a
(isso simplifica muito o integral).
Passo 4
Calculo a derivada de
em relação a
. Justifico, informalmente, que posso trocar derivação com integral: para
temos convergência absoluta e a derivada do integrando em
é dominada por uma função integrável, então a troca é válida (teorema da convergência dominada / diferenciação sob o sinal de integral).
Diferenciando:
Diferenciando:
Como
, obtemos
Passo 5
Calculo o integral simples que apareceu:
onde usei
para garantir que
quando
. Portanto
Passo 6
Integro em relação a
para recuperar
. Uma primitiva de
é
(ou, mais convenientemente,
). Assim
Determino a constante
avaliando
em
. Pela definição,
Substituindo na expressão geral:
Logo
Passo 7
Retorno ao nosso caso original: tomamos
e
. Assim
válido quando
e
. Isso é exatamente a transformada desejada.