Questão 16. Prove usando, indução matemática
\mathcal{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede: provar, por indução matemática, que
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}
para todo inteiro n\ge 0. Informações fornecidas e hipóteses que usaremos: a definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
assumimos s>0 (condição usual para convergência) e n é inteiro não negativo.

Passo 2

Base da indução: caso n=0. Calculamos \mathcal{L}\{t^{0}\}=\mathcal{L}\{1\}.
\mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Avaliaremos essa integral imprópria: uma primitiva de e^{-st} é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Portanto,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}.
Como s>0 temos \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-st}=0, logo o termo no infinito é zero e o termo em t=0 vale -\dfrac{1}{s}\cdot 1. Assim
\mathcal{L}\{1\}=\;0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Como 0!=1, obtemos
\mathcal{L}\{t^{0}\}=\frac{0!}{s^{0+1}},
logo a base n=0 está correta.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge 0 vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Nosso objetivo é provar que então
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{n+1}\} por integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolhemos
u=t^{n+1},\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=(n+1)t^{n}\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando a fórmula:
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\int_{0}^{\infty} t^{n+1}e^{-st}\,dt = \left. -\frac{1}{s}t^{n+1}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{n+1}{s}\int_{0}^{\infty} t^{n}e^{-st}\,dt.

Passo 5

Análise do termo de fronteira \displaystyle\left.-\frac{1}{s}t^{n+1}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}. No limite t\to\infty temos que t^{n+1}e^{-st}\to 0 quando s>0. Uma maneira clara de ver isso é escrever
\lim_{t\to\infty} t^{n+1}e^{-st}=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n+1}}{e^{st}},
e aplicar a regra de L’Hôpital repetidamente n+1 vezes; o numerador reduz seu grau até virar uma constante (n+1)! enquanto o denominador ainda contém o fator exponencial e^{st}, de modo que o limite é 0. Portanto o termo no infinito vale 0. No ponto t=0 temos t^{n+1}e^{-st}=0. Logo o termo de fronteira é 0-0=0.

Passo 6

Com o termo de fronteira nulo, da expressão do Passo 4 obtemos
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\frac{n+1}{s}\int_{0}^{\infty} t^{n}e^{-st}\,dt =\frac{n+1}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n}\}.
Agora aplicamos a hipótese de indução \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}. Assim
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\frac{n+1}{s}\cdot\frac{n!}{s^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}.
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar para n+1.

Passo 7

Conclusão por indução: a base n=0 é verdadeira e o passo de indução mostra que se a fórmula vale para n então vale para n+1. Logo, por princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo inteiro n\ge 0, com s>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}

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