Análise do termo de fronteira \displaystyle\left.-\frac{1}{s}t^{n+1}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}. No limite t\to\infty temos que t^{n+1}e^{-st}\to 0 quando s>0. Uma maneira clara de ver isso é escrever
e aplicar a regra de L’Hôpital repetidamente n+1 vezes; o numerador reduz seu grau até virar uma constante (n+1)! enquanto o denominador ainda contém o fator exponencial e^{st}, de modo que o limite é 0. Portanto o termo no infinito vale 0. No ponto t=0 temos t^{n+1}e^{-st}=0. Logo o termo de fronteira é 0-0=0.
Passo 6
Com o termo de fronteira nulo, da expressão do Passo 4 obtemos
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar para n+1.
Passo 7
Conclusão por indução: a base n=0 é verdadeira e o passo de indução mostra que se a fórmula vale para n então vale para n+1. Logo, por princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo inteiro n\ge 0, com s>0.