Questão 65. Prove a propriedade de translação: Se
então
onde
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove a propriedade de translação da transformada inversa de Laplace. As perguntas/itens que aparecem são:
a) Mostrar que .
b) Mostrar que é dada por
a) Mostrar que
b) Mostrar que
c) Foi dada a relação entre
e
; consideramos a forma correta e usual:
.
d) Provar a propriedade de translação (ou seja, mostrar formalmente que a igualdade do item a) vale com do item b)).
Informações dadas que usaremos: a função (assumimos definida para
), o parâmetro
e
que é a transformada de Laplace de
.]
d) Provar a propriedade de translação (ou seja, mostrar formalmente que a igualdade do item a) vale com
Informações dadas que usaremos: a função
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
(com crescimento adequado) define-se
Aqui
é a variável do tempo (real não-negativa) e
é a variável complexa em que a transformada é feita. A transformada inversa
é a operação que recupera
a partir de
. A nossa estratégia será mostrar que a transformada de Laplace de
(definida no item b) ) vale exatamente
. Isso implica que a transformada inversa de
é
.
Passo 3
Escrevemos a transformada de Laplace de
usando a definição. Como
para
e
para
, temos
A primeira integral é zero, então fica apenas a integral de
até
.
Passo 4
Façamos a mudança de variável canônica para esse tipo de integral: defina
. Então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Agora distribuímos o expoente:
Passo 5
Pelo passo anterior reconhecemos a integral que sobra como a transformada de Laplace de
, isto é,
Portanto
Como a transformada de Laplace é uma bijeção (no espaço adequado de funções), isso mostra que a transformada inversa de
é exatamente
. Em palavras: a função cujo Laplace é
é
definida no passo 1.
Passo 6
Interpretando de forma compacta, a função
pode ser escrita usando a função degrau de Heaviside
(onde
para
e
para
) como
A propriedade demonstrada é a bem‑conhecida propriedade de translação: a multiplicação de
por
corresponde a deslocar
para a direita em
unidades e desligá‑la (zerá‑la) para
.
Passo 7
Um exemplo concreto para fixar a ideia: se
para
então
. Aplicando a propriedade, temos
ou seja, a função degrau deslocada em
. Isso bate com a fórmula geral, pois
e
para
e
para
.
Resposta
a)
b)
c)
d) A propriedade de translação foi provada: , logo
.]
d) A propriedade de translação foi provada: