Questão 18. Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} existe, mostre que
\mathcal{L}\left\{e^{\gamma t} f(t)\right\}=F(s-\gamma) .

Passo 1

O enunciado diz que F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} existe e pede para mostrar que
\mathcal{L}\{e^{\gamma t} f(t)\}=F(s-\gamma).
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Foi dado que \mathcal{L}\{f(t)\} existe (ou seja, a integral que define F(s) converge em alguma região de s).
  • A função a transformar agora é e^{\gamma t}f(t), onde \gamma é uma constante (pode ser real ou complexa).
  • Precisamos provar a igualdade entre as duas transformadas indicadas, explicando por que a manipulação é válida.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace (essa é a “fórmula base” que vamos usar).
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Explicando os símbolos:
  • t é a variável temporal (variável de integração), com t\ge 0.
  • s é a variável complexa da transformada (normalmente s=\sigma+i\omega).
  • A notação \mathcal{L}\{f(t)\} significa "a transformada de Laplace de f".
    A integral só define F(s) quando ela converge (isso determina a região de convergência em termos de \Re(s)).

Passo 3

Escrevemos a transformada de Laplace da função multiplicada por e^{\gamma t} usando a definição:
\mathcal{L}\{e^{\gamma t}f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\bigl(e^{\gamma t}f(t)\bigr)\,dt.
Agora simplificamos o produto de exponenciais dentro da integral, usando e^{-s t}e^{\gamma t}=e^{-(s-\gamma)t}. Assim:
\mathcal{L}\{e^{\gamma t}f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-\gamma)t} f(t)\,dt.

Passo 4

Observe que a integral do passo anterior é exatamente a definição de F avaliada em s-\gamma. Para ficar claro, faça a substituição simbólica
\sigma = s-\gamma.
Com isso a integral fica
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-\gamma)t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-\sigma t} f(t)\,dt = F(\sigma)=F(s-\gamma).
Portanto
\mathcal{L}\{e^{\gamma t}f(t)\}=F(s-\gamma).

Passo 5

Comentário sobre a região de convergência (importante em prova): se F(s) converge para \Re(s)>\alpha, então a integral \int_{0}^{\infty} e^{-(s-\gamma)t}f(t)\,dt converge quando \Re(s-\gamma)>\alpha, isto é quando
\Re(s)>\alpha+\Re(\gamma).
Em palavras: multiplicar f(t) por e^{\gamma t} desloca a região de convergência de F em s por \gamma.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (bem prático): tome f(t)=1. Então
F(s)=\mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\quad(\Re(s)>0).
Aplicando a propriedade,
\mathcal{L}\{e^{\gamma t}\}=\frac{1}{s-\gamma}\quad(\Re(s)>\Re(\gamma)),
que é exatamente F(s-\gamma) com F(s)=1/s. Isso ajuda a ver a propriedade funcionando em um caso concreto.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{\gamma t} f(t)\}=F(s-\gamma)

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