Questão 18. Se
existe, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
existe e pede para mostrar que
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Foi dado que
existe (ou seja, a integral que define converge em alguma região de ). - A função a transformar agora é
, onde é uma constante (pode ser real ou complexa). - Precisamos provar a igualdade entre as duas transformadas indicadas, explicando por que a manipulação é válida.
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace (essa é a “fórmula base” que vamos usar).
Explicando os símbolos:
-
é a variável temporal (variável de integração), com . -
é a variável complexa da transformada (normalmente ). - A notação
significa "a transformada de Laplace de ".
A integral só definequando ela converge (isso determina a região de convergência em termos de ).
Passo 3
Escrevemos a transformada de Laplace da função multiplicada por
usando a definição:
Agora simplificamos o produto de exponenciais dentro da integral, usando
. Assim:
Passo 4
Observe que a integral do passo anterior é exatamente a definição de
avaliada em
. Para ficar claro, faça a substituição simbólica
Com isso a integral fica
Portanto
Passo 5
Comentário sobre a região de convergência (importante em prova): se
converge para
, então a integral
converge quando
, isto é quando
Em palavras: multiplicar
por
desloca a região de convergência de
em
por
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (bem prático): tome
. Então
Aplicando a propriedade,
que é exatamente
com
. Isso ajuda a ver a propriedade funcionando em um caso concreto.