— QUESTÃO 53

Na teoria dos números, ao realizar-se estudos sobre a divisibilidade nos números inteiros, tem-se a propriedade :
(A) se a \mid b e se m d c(b, c)=1, então m d c(a, c) \neq 1
(B) se a \mid b c e se m d c(a, b)=d, então c \mid a d
(C) se c \mid(a+b) e se m d c(a, b)=1, \quad então m d c(a, c) \neq m d c(b, c)
(D) se b \mid c, então m d c(a, b)=m d c(a+c, b)
Notação: em a \mid b lê-se “a divide b”

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) é verdadeira na teoria dos números (divisibilidade e máximo divisor comum).\n
Informações e hipóteses presentes nas alternativas (vou reescrever cada uma por clareza):
\text{(A) } \text{Se } a\mid b \text{ e } \gcd(b,c)=1,\text{ então } \gcd(a,c)\neq1.ã
\text{(B) } \text{Se } a\mid bc \text{ e } \gcd(a,b)=d,\text{ então } c\mid ad.ã
\text{\text{(C)} } \text{Se } c\mid(a+b) \text{ e } \gcd(a,b)=1,\text{ então } \gcd(a,c)\neq\gcd(b,c).ã
\text{(D) } \text{Se } b\mid c,\text{ então } \gcd(a,b)=\gcd(a+c,b).ã
Nada mais será assumido além do que cada alternativa afirma. A tarefa agora é analisar cada alternativa, provar ou dar contraexemplo, e concluir qual é verdadeira.

Passo 2

Rápida revisão (didática) de conceitos usados nas alternativas:\n
  • Definição de divisibilidade: x\mid y significa que existe um inteiro k tal que y=kx. Ex.: 3\mid 12 porque 12=3\cdot4.\n
  • Definição de máximo divisor comum: \gcd(u,v) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente u e v. Dizemos que u e v são coprimos se \gcd(u,v)=1.\n
  • Propriedade fundamental usada frequentemente: se \gcd(u,v)=1 e u\mid vw, então u\mid w. Intuição: nenhum fator primo de u pode ser “absorvido” por v porque u e v não têm fatores em comum, então todos os fatores de u devem dividir w.\n
  • Outra propriedade padrão: para qualquer inteiro k, \gcd(x+ky,y)=\gcd(x,y). Vou usar e provar uma forma dessa propriedade quando necessário.

Passo 3

Análise da alternativa (A).\n
(A) diz: se a\mid b e \gcd(b,c)=1, então \gcd(a,c)\neq1.\n
Intuição: se a\mid b, todos os primos que dividem a também dividem b. Se b é coprimo com c, então nenhum primo que divide b divide c. Logo nenhum primo que divide a divide c, o que implica \gcd(a,c)=1. Portanto a conclusão dada em (A) ( \gcd(a,c)\neq1) é o oposto do que a lógica aponta.\n
Contraexemplo numérico simples: tome a=2, b=6 e c=5. Verificações:
a\mid b \quad(\text{pois } 6=3\cdot2),
\gcd(b,c)=\gcd(6,5)=1,
mas
\gcd(a,c)=\gcd(2,5)=1.
Aqui \gcd(a,c)=1, o que contradiz a afirmação \gcd(a,c)\neq1. Logo (A) é falsa.

Passo 4

Análise da alternativa (B).\n
(B) diz: se a\mid bc e \gcd(a,b)=d, então c\mid ad.\n
Para estudar isso é útil escrever a e b em função de d. Seja
a=d a',\qquad b=d b',
onde \gcd(a',b')=1 (essa decomposição é padrão: dividir por o \gcd). A hipótese a\mid bc vira
d a' \mid d b' c \quad\Rightarrow\quad a' \mid b' c.
Como \gcd(a',b')=1, pela propriedade do Passo 2 segue a'\mid c. Portanto existe inteiro t tal que
c=a' t.
A conclusão pedida é c\mid ad. Vamos ver o que é ad:
ad = (d a') d = d^2 a'.
Para que c=a' t divida ad=d^2 a' precisamos ter t\mid d^2. Mas nada na hipótese garante que t divide d^2. Ou seja, em geral não se tem c\mid ad.\n
Contraexemplo numérico: escolha a=6, b=15, c=4. Então
\gcd(a,b)=\gcd(6,15)=3=d,
e
bc=15\cdot4=60,\quad a=6,\quad 6\mid60,
logo a\mid bc e \gcd(a,b)=3. Mas
ad = 6\cdot3=18,
e c=4 não divide 18. Portanto (B) é falsa.

Passo 5

Análise da alternativa (C).\n
(C) diz: se c\mid(a+b) e \gcd(a,b)=1, então \gcd(a,c)\neq\gcd(b,c).\n
Isso afirma que os maiores divisores comuns de c com a e com b são necessariamente distintos. Mas isso não precisa ocorrer: é perfeitamente possível que tanto \gcd(a,c) quanto \gcd(b,c) sejam iguais (por exemplo, ambos iguais a 1).\n
Contraexemplo simples: tome a=2, b=3, c=5. Verificações:
\gcd(a,b)=\gcd(2,3)=1,
c\mid(a+b) \text{ porque } 5\mid(2+3)=5,
mas
\gcd(a,c)=\gcd(2,5)=1\quad\text{e}\quad \gcd(b,c)=\gcd(3,5)=1,
logo \gcd(a,c)=\gcd(b,c). A hipótese do enunciado não impede que as duas gcds sejam iguais. Portanto (C) é falsa.

Passo 6

Análise da alternativa (D) e prova.\n
(D) diz: se b\mid c, então \gcd(a,b)=\gcd(a+c,b).\n
Esta é uma propriedade clássica de máximo divisor comum: adicionar a a um múltiplo de b não altera o \gcd com b. Vou provar claramente.\n
Hipótese: b\mid c. Então existe inteiro k tal que c=k b. Então
a+c=a+kb.
Mostrarei que \gcd(a+kb,b)=\gcd(a,b).\n
Prova em duas direções:
  1. Se d divide a e b, então d divide a+kb (pois divide a e também kb), logo todo divisor comum de a e b é divisor comum de a+kb e b. Assim \gcd(a,b)\le \gcd(a+kb,b).\n
  2. Se d divide a+kb e b, então d divide (a+kb)-kb = a. Logo todo divisor comum de a+kb e b também divide a. Assim \gcd(a+kb,b)\le \gcd(a,b).\n
    Das duas desigualdades segue a igualdade
\gcd(a+kb,b)=\gcd(a,b).
Como c=kb, isto é exatamente
\gcd(a+c,b)=\gcd(a,b).
Exemplo numérico para conforto: tome a=7, b=4, c=12 (note 4\mid12). Então
\gcd(a,b)=\gcd(7,4)=1,
a+c=7+12=19,\qquad \gcd(a+c,b)=\gcd(19,4)=1,
igualdade confirmada. A prova acima é geral e mostra que (D) é verdadeira para quaisquer inteiros com b\mid c.

Passo 7

Conclusão final: Das quatro alternativas, apenas (D) é verdadeira; (A), (B) e (C) são falsas (cada uma possui contraexemplo e/ou lógica contrária).

Resposta

(D)

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