— QUESTÃO 53
Na teoria dos números, ao realizar-se estudos sobre a divisibilidade nos números inteiros, tem-se a propriedade :
(A) se
e se
, então
(B) se
e se
, então
(C) se
e se
então
(D) se
, então
Notação: em
lê-se “a divide b”
(A) se
(B) se
(C) se
(D) se
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) é verdadeira na teoria dos números (divisibilidade e máximo divisor comum).\n
Informações e hipóteses presentes nas alternativas (vou reescrever cada uma por clareza):
Informações e hipóteses presentes nas alternativas (vou reescrever cada uma por clareza):
Nada mais será assumido além do que cada alternativa afirma. A tarefa agora é analisar cada alternativa, provar ou dar contraexemplo, e concluir qual é verdadeira.
Passo 2
Rápida revisão (didática) de conceitos usados nas alternativas:\n
- Definição de divisibilidade:
significa que existe um inteiro tal que . Ex.: porque .\n - Definição de máximo divisor comum:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . Dizemos que e são coprimos se .\n - Propriedade fundamental usada frequentemente: se
e , então . Intuição: nenhum fator primo de pode ser “absorvido” por porque e não têm fatores em comum, então todos os fatores de devem dividir .\n - Outra propriedade padrão: para qualquer inteiro
, . Vou usar e provar uma forma dessa propriedade quando necessário.
Passo 3
Análise da alternativa (A).\n
(A) diz: se e
, então
.\n
Intuição: se , todos os primos que dividem
também dividem
. Se
é coprimo com
, então nenhum primo que divide
divide
. Logo nenhum primo que divide
divide
, o que implica
. Portanto a conclusão dada em (A) (
) é o oposto do que a lógica aponta.\n
Contraexemplo numérico simples: tome ,
e
. Verificações:
(A) diz: se
Intuição: se
Contraexemplo numérico simples: tome
mas
Aqui
, o que contradiz a afirmação
. Logo (A) é falsa.
Passo 4
Análise da alternativa (B).\n
(B) diz: se e
, então
.\n
Para estudar isso é útil escrever e
em função de
. Seja
(B) diz: se
Para estudar isso é útil escrever
onde
(essa decomposição é padrão: dividir por o
). A hipótese
vira
Como
, pela propriedade do Passo 2 segue
. Portanto existe inteiro
tal que
A conclusão pedida é
. Vamos ver o que é
:
Para que
divida
precisamos ter
. Mas nada na hipótese garante que
divide
. Ou seja, em geral não se tem
.\n
Contraexemplo numérico: escolha ,
,
. Então
Contraexemplo numérico: escolha
e
logo
e
. Mas
e
não divide
. Portanto (B) é falsa.
Passo 5
Análise da alternativa (C).\n
(C) diz: se e
, então
.\n
Isso afirma que os maiores divisores comuns de com
e com
são necessariamente distintos. Mas isso não precisa ocorrer: é perfeitamente possível que tanto
quanto
sejam iguais (por exemplo, ambos iguais a
).\n
Contraexemplo simples: tome ,
,
. Verificações:
(C) diz: se
Isso afirma que os maiores divisores comuns de
Contraexemplo simples: tome
mas
logo
. A hipótese do enunciado não impede que as duas gcds sejam iguais. Portanto (C) é falsa.
Passo 6
Análise da alternativa (D) e prova.\n
(D) diz: se , então
.\n
Esta é uma propriedade clássica de máximo divisor comum: adicionar a um múltiplo de
não altera o
com
. Vou provar claramente.\n
Hipótese: . Então existe inteiro
tal que
. Então
(D) diz: se
Esta é uma propriedade clássica de máximo divisor comum: adicionar a
Hipótese:
Mostrarei que
.\n
Prova em duas direções:
Prova em duas direções:
- Se
divide e , então divide (pois divide e também ), logo todo divisor comum de e é divisor comum de e . Assim .\n - Se
divide e , então divide . Logo todo divisor comum de e também divide . Assim .\n
Das duas desigualdades segue a igualdade
Como
, isto é exatamente
Exemplo numérico para conforto: tome
,
,
(note
). Então
igualdade confirmada. A prova acima é geral e mostra que (D) é verdadeira para quaisquer inteiros com
.
Passo 7
Conclusão final: Das quatro alternativas, apenas (D) é verdadeira; (A), (B) e (C) são falsas (cada uma possui contraexemplo e/ou lógica contrária).
Resposta
(D)