— QUESTÃO 55

Um concurso público municipal foi organizado de modo que os candidatos participassem do processo realizando provas em três áreas: Matemática, Língua Portuguesa e Conhecimentos Específicos. Sabe-se que o peso da prova de matemática é P, de Língua Portuguesa é o dobro do peso da de Matemática e o da prova de Conhecimentos Específicos é o quádruplo do peso da de Matemática, tendo sido usada a média ponderada. Após a correção das provas, um candidato verificou que a sua nota de Matemática foi igual a 2 P, a de Língua Portuguesa foi igual a 3 P e a de Conhecimentos Específicos foi igual a 5 P. Sabe-se que 7,20 foi a média desse candidato. Então o peso P é igual a:
(A) 1,4
(B) 1,6
(C) 1,8
(D) 2,0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor do peso \,P\, da prova de Matemática. As informações relevantes fornecidas são:
  • O peso da prova de Matemática é \,P.
  • O peso da Língua Portuguesa é o dobro do de Matemática, ou seja \,2P.
  • O peso de Conhecimentos Específicos é o quádruplo do de Matemática, ou seja \,4P.
  • As notas do candidato foram: Matemática \,=2P, Língua Portuguesa \,=3P e Conhecimentos Específicos \,=5P.
  • A média ponderada do candidato foi \,7,20.
    O que devemos achar: o valor numérico de \,P.

Passo 2

Vamos lembrar o que é média ponderada e a fórmula que vamos usar. A média ponderada de valores x_1,x_2,\dots,x_n com pesos w_1,w_2,\dots,w_n é dada por
\text{média}=\frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}.é
Aqui cada w_i indica a “importância” (peso) do correspondente x_i. No caso da prova, os x_i são as notas e os w_i são os pesos das provas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema: temos três provas, então
  • pesos: \,w_1=P, \,w_2=2P, \,w_3=4P;
  • notas: \,x_1=2P, \,x_2=3P, \,x_3=5P.
    A média ponderada informada é \,7,20. Portanto a equação que descreve a situação é
\frac{P\cdot(2P) + 2P\cdot(3P) + 4P\cdot(5P)}{P + 2P + 4P} = 7,20.

Passo 4

Calculemos separadamente o numerador e o denominador da fração.
Numerador:
P\cdot(2P) + 2P\cdot(3P) + 4P\cdot(5P) = 2P^2 + 6P^2 + 20P^2 = 28P^2.
Denominador:
P + 2P + 4P = 7P.
Substituindo na expressão da média obtemos
\frac{28P^2}{7P} = 7,20.

Passo 5

Simplificamos a fração \dfrac{28P^2}{7P}. Podemos fatorar e cancelar um P (assumindo P\neq 0, o que faz sentido pois pesos são positivos), e dividir 28 por 7:
\frac{28P^2}{7P} = \frac{28}{7}\cdot \frac{P^2}{P} = 4\cdot P = 4P.
Logo a equação torna-se
4P = 7,20.

Passo 6

Agora isolamos \,P:
P = \frac{7,20}{4}.
Fazendo a divisão temos \,P = 1,8.

Passo 7

Rapidamente conferindo: se \,P=1,8 então os pesos são 1,8, 3,6 e 7,2 e as notas são 3,6, 5,4 e 9,0. A média ponderada seria
\frac{1,8\cdot 3,6 + 3,6\cdot 5,4 + 7,2\cdot 9,0}{1,8+3,6+7,2} = \frac{6,48 + 19,44 + 64,8}{12,6} = \frac{90,72}{12,6} = 7,20,
confirma que o valor está correto. Força aí — já passou pela parte mais chata!

Resposta

1,8

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