Na teoria de grupos da álgebra abstrata, o estudo de isomorfismos de grupos é importante para determinar as estruturas algébricas que possuem características e propriedades equivalentes. Sabe-se que ( Z_{n}, t ) é o grupo das classes de equivalência módulo n e \mathrm{S}_{3} é o grupo das permutações do conjunto S de três elementos. Então,
(A) S_{3} é isomorfo a Z_{3}
(B) \quad Z_{2} \times\langle(123)\rangle é isomorfo a Z_{3} \times Z_{2}
(C) Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{4} é isomorfo a Z_{8}
(D) \mathrm{Z}_{2} \times Z_{3} é isomorfo a \langle(12)\rangle \times S_{3}
Considere S={1,2,3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: analisar se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (isomorfismo de grupos) ou falsa:
(A) \mathrm{S}_{3} é isomorfo a Z_{3}.
(B) Z_{2}\times\langle(123)\rangle é isomorfo a Z_{3}\times Z_{2}.
(C) Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{4} é isomorfo a Z_{8}.
(D) Z_{2}\times Z_{3} é isomorfo a \langle(12)\rangle\times \mathrm{S}_{3}.
Informações dadas e relevantes do enunciado:
  • Z_{n} é o grupo das classes módulo n (adição módulo n), de ordem n.
  • \mathrm{S}_{3} é o grupo das permutações do conjunto S=\{1,2,3\}.
  • \langle(123)\rangle é o subgrupo gerado pelo ciclo (123) em \mathrm{S}_{3}.
  • \langle(12)\rangle é o subgrupo gerado pela transposição (12) em \mathrm{S}_{3}.
Nada mais será assumido; nos próximos passos eu explico as ferramentas que vamos usar e aplico passo a passo a cada item.

Passo 2

Conceitos e propriedades que usaremos (explicados devagarinho):
  1. Definição prática de isomorfismo: um isomorfismo entre grupos G e H é uma aplicação \varphi:G\to H que é bijetiva e preserva a operação (homomorfismo). Se existe isomorfismo, dizemos G\cong H. Isso significa que as estruturas dos grupos são “igualzinhas” em termos de operação.
  2. Consequências úteis:
    • Se G\cong H então |G|=|H| (mesma ordem/cardinalidade). Portanto, se duas ordens diferem, não podem ser isomorfos.
    • Se G é abeliano e G\cong H então H também é abeliano. Logo se um é abeliano e outro não, não existe isomorfismo.
    • Se G é cíclico (gerado por um elemento) e G\cong H então H também é cíclico. Em particular, a existência de um elemento de determinada ordem é preservada pelo isomorfismo: ordens de elementos são preservadas.
  3. Ordem do produto direto: |A\times B|=|A|\cdot|B|. Ordem de um produto com três fatores segue a mesma regra.
  4. Ordem de \mathrm{S}_{3}: é 3! = 6. É bom lembrar que \mathrm{S}_{3} é não abeliano (há transposições que não comutam com 3-ciclos).
    Vou aplicar essas propriedades nos itens.

Passo 3

Analisando (A): \mathrm{S}_{3} é isomorfo a Z_{3}.
  • Ordem de \mathrm{S}_{3}: |\mathrm{S}_{3}|=3! = 6.
  • Ordem de Z_{3}: |Z_{3}|=3.
  • Como ordens são diferentes ( 6\neq 3), não pode haver isomorfismo. Além disso, \mathrm{S}_{3} é não abeliano enquanto Z_{3} é abeliano, reforçando que não são isomorfos.
    Conclusão parcial: (A) é falsa.

Passo 4

Analisando (B): Z_{2}\times\langle(123)\rangle é isomorfo a Z_{3}\times Z_{2}.
  • Observe \langle(123)\rangle é o subgrupo de \mathrm{S}_{3} gerado por (123). Um ciclo de comprimento 3 tem ordem 3, logo \langle(123)\rangle tem ordem 3.
  • O grupo cíclico de ordem 3 é Z_{3}. Então existe um isomorfismo explícito entre \langle(123)\rangle e Z_{3}: por exemplo a aplicação que manda (123)^{k}\mapsto \overline{k} (classe de k módulo 3) é bijetiva e preserva a operação. Em símbolos, \psi:\langle(123)\rangle \to Z_{3},\qquad \psi\big((123)^{k}\big)=\overline{k}\quad(k=0,1,2)é isomorfismo.
  • Usando isso, Z_{2}\times\langle(123)\rangle é isomorfo a Z_{2}\times Z_{3} (aplico identidade em Z_{2} e \psi na segunda coordenada). Formalmente, \mathrm{id}_{Z_{2}}\times\psi é um isomorfismo.
  • E o produto direto é comutativo até isomorfismo: Z_{2}\times Z_{3}\cong Z_{3}\times Z_{2} (apenas permutamos as coordenadas).
  • Portanto existe isomorfismo entre Z_{2}\times\langle(123)\rangle e Z_{3}\times Z_{2}.
    Conclusão parcial: (B) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (C): Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{4} é isomorfo a Z_{8}.
  • Primeiro compare ordens: |Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{4}| = 2\cdot 2\cdot 4 = 16.
  • |Z_{8}| = 8.
  • Como 16\neq 8, não podem ser isomorfos. Portanto (C) é falsa.
  • Observação extra (útil para prova sem calculadora): mesmo se alguém tivesse errado a contagem, outro argumento é analisar se o primeiro é cíclico. Em Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{4} a ordem máxima de um elemento é \operatorname{lcm}(2,2,4)=4, logo não existe elemento de ordem 8; já Z_{8} tem um gerador de ordem 8. Isso também impede o isomorfismo.

Passo 6

Analisando (D): Z_{2}\times Z_{3} é isomorfo a \langle(12)\rangle\times \mathrm{S}_{3}.
  • Ordem de Z_{2}\times Z_{3} é 2\cdot 3 = 6.
  • Ordem de \langle(12)\rangle\times \mathrm{S}_{3} é 2\cdot |\mathrm{S}_{3}| = 2\cdot 6 = 12.
  • Como 6\neq 12, não podem ser isomorfos.
  • Além disso, Z_{2}\times Z_{3} é abeliano (na verdade é isomorfo a Z_{6}), enquanto \langle(12)\rangle\times \mathrm{S}_{3} contém \mathrm{S}_{3} como fator e portanto é não abeliano; isomorfismo exigiria abelianidade em ambos. Assim (D) é falsa por duas razões coerentes.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • (A) falsa pelo argumento de ordem e abelianidade.
  • (B) verdadeira porque \langle(123)\rangle\cong Z_{3} e produto direto preserva isomorfismo e ordem das coordenadas.
  • (C) falsa por diferença de ordem (e por falta de elemento de ordem 8).
  • (D) falsa por diferença de ordem (e por abelianidade).

Resposta

(A) Falso
(B) Verdadeiro
(C) Falso
(D) Falso

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