Na teoria de grupos da álgebra abstrata, o estudo de isomorfismos de grupos é importante para determinar as estruturas algébricas que possuem características e propriedades equivalentes. Sabe-se que (
) é o grupo das classes de equivalência módulo n e
é o grupo das permutações do conjunto
de três elementos. Então,
(A)
é isomorfo
(B)
é isomorfo a
(C)
é isomorfo a
(D)
é isomorfo a
Considere S={1,2,3}}
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O que o enunciado pede: analisar se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (isomorfismo de grupos) ou falsa:
(A) é isomorfo a
.
(B) é isomorfo a
.
(C) é isomorfo a
.
(D) é isomorfo a
.
(A)
(B)
(C)
(D)
Informações dadas e relevantes do enunciado:
-
é o grupo das classes módulo (adição módulo ), de ordem . -
é o grupo das permutações do conjunto . -
é o subgrupo gerado pelo ciclo em . -
é o subgrupo gerado pela transposição em .
Nada mais será assumido; nos próximos passos eu explico as ferramentas que vamos usar e aplico passo a passo a cada item.
Passo 2
Conceitos e propriedades que usaremos (explicados devagarinho):
- Definição prática de isomorfismo: um isomorfismo entre grupos
e é uma aplicação que é bijetiva e preserva a operação (homomorfismo). Se existe isomorfismo, dizemos . Isso significa que as estruturas dos grupos são “igualzinhas” em termos de operação. - Consequências úteis:
- Se
então (mesma ordem/cardinalidade). Portanto, se duas ordens diferem, não podem ser isomorfos. - Se
é abeliano e então também é abeliano. Logo se um é abeliano e outro não, não existe isomorfismo. - Se
é cíclico (gerado por um elemento) e então também é cíclico. Em particular, a existência de um elemento de determinada ordem é preservada pelo isomorfismo: ordens de elementos são preservadas.
- Se
- Ordem do produto direto:
. Ordem de um produto com três fatores segue a mesma regra. - Ordem de
: é . É bom lembrar que é não abeliano (há transposições que não comutam com 3-ciclos).
Vou aplicar essas propriedades nos itens.
Passo 3
Analisando (A):
é isomorfo a
.
- Ordem de
: . - Ordem de
: . - Como ordens são diferentes (
), não pode haver isomorfismo. Além disso, é não abeliano enquanto é abeliano, reforçando que não são isomorfos.
Conclusão parcial: (A) é falsa.
Passo 4
Analisando (B):
é isomorfo a
.
- Observe
é o subgrupo de gerado por . Um ciclo de comprimento tem ordem , logo tem ordem . - O grupo cíclico de ordem
é . Então existe um isomorfismo explícito entre e : por exemplo a aplicação que manda (classe de módulo ) é bijetiva e preserva a operação. Em símbolos, é isomorfismo. - Usando isso,
é isomorfo a (aplico identidade em e na segunda coordenada). Formalmente, é um isomorfismo. - E o produto direto é comutativo até isomorfismo:
(apenas permutamos as coordenadas). - Portanto existe isomorfismo entre
e .
Conclusão parcial: (B) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (C):
é isomorfo a
.
- Primeiro compare ordens:
. -
. - Como
, não podem ser isomorfos. Portanto (C) é falsa. - Observação extra (útil para prova sem calculadora): mesmo se alguém tivesse errado a contagem, outro argumento é analisar se o primeiro é cíclico. Em
a ordem máxima de um elemento é , logo não existe elemento de ordem ; já tem um gerador de ordem . Isso também impede o isomorfismo.
Passo 6
Analisando (D):
é isomorfo a
.
- Ordem de
é . - Ordem de
é . - Como
, não podem ser isomorfos. - Além disso,
é abeliano (na verdade é isomorfo a ), enquanto contém como fator e portanto é não abeliano; isomorfismo exigiria abelianidade em ambos. Assim (D) é falsa por duas razões coerentes.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- (A) falsa pelo argumento de ordem e abelianidade.
- (B) verdadeira porque
e produto direto preserva isomorfismo e ordem das coordenadas. - (C) falsa por diferença de ordem (e por falta de elemento de ordem
). - (D) falsa por diferença de ordem (e por abelianidade).
Resposta
(A) Falso
(B) Verdadeiro
(C) Falso
(D) Falso
(B) Verdadeiro
(C) Falso
(D) Falso