— QUESTÃO 50

No Japão, nesse último mês de março, houve um terremoto cujo tremor, segundo analistas, foi o quarto pior da história do país. A magnitude Y de um terremoto é medida em uma escala, chamada escala Richter, dada pela fórmula Y=\log \frac{x}{x_{0}}, em que x é a intensidade do terremoto e x_{0} é uma intensidade padrão mínima.
Se um terremoto atinge a magnitude de 8,9 na escala Richter, como se verificou no Japão, pode-se concluir então que a intensidade do terremoto é
(A) 8,9^{10} maior que a intensidade padrão.
(B) \log 8,9 maior que a intensidade padrão.
(C) \log 10^{8,9} maior que a intensidade padrão.
(D) 10^{8,9} maior que a intensidade padrão.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da escala Richter e pede quantas vezes a intensidade x é maior que a intensidade padrão x_{0} quando a magnitude é 8,9. Informações fornecidas relevantes:
Y=\log\frac{x}{x_{0}}
e foi informado que Y=8,9. As alternativas oferecidas são: (A) 8,9^{10} vezes, (B) \log 8,9 vezes, (C) \log 10^{8,9} vezes, (D) 10^{8,9} vezes. A pergunta é: qual dessas expressões descreve corretamente a razão \dfrac{x}{x_{0}}?

Passo 2

Entendendo o que significa \log aqui (mini-aula rápida e necessária): na escala Richter o \log é o logaritmo decimal, ou seja, \log é \log_{10}. A propriedade fundamental que vamos usar é esta:
\text{Se }\log_{10} a = b\text{, então }a=10^{b}.ã
Explicação dessa propriedade: \log_{10} a = b significa "o expoente ao qual devo elevar 10 para obter a é b". Por isso, passar do logaritmo para a potência é natural: a=10^{b}.

Passo 3

Substituímos Y=8,9 na fórmula dada:
8,9=\log\frac{x}{x_{0}}.
Aqui, como explicado, \log é \log_{10}. Aplicando a propriedade do logaritmo para eliminar o \log, obtemos:
\frac{x}{x_{0}}=10^{8,9}.
Mostrei passo a passo: começamos com \log_{10}\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)=8,9 e elevamos 10 a ambos os lados, o que nos dá \dfrac{x}{x_{0}}=10^{8,9}.

Passo 4

Interpretação final (como usar isso na prova): a razão \dfrac{x}{x_{0}} é exatamente “quantas vezes” a intensidade x é maior que x_{0}. Como achamos \dfrac{x}{x_{0}}=10^{8,9}, concluímos que o terremoto tem intensidade 10^{8,9} vezes a intensidade padrão. Não tente calcular esse número explícito sem calculadora — ele é imenso, e não é necessário, basta deixar na forma exponencial.

Passo 5

Verificação rápida das alternativas para não cair em pegadinhas:
  • (A) 8,9^{10} é outra expressão (potência de 8,9), não é igual a 10^{8,9}.
  • (B) \log 8,9 é um número pequeno (o logaritmo de 8,9), não faz sentido como “vezes” em relação a x_{0}.
  • (C) \log 10^{8,9} vale exatamente 8,9 (pela definição de logaritmo), ou seja, é a magnitude Y, não a razão \dfrac{x}{x_{0}}.
  • (D) 10^{8,9} é exatamente o que encontramos para \dfrac{x}{x_{0}}.

Resposta

(D) 10^{8,9} maior que a intensidade padrão.

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