Questão 55 (CESGRANRIO / BB - 2012). Um investimento rende a taxa nominal de
ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente ?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede):
- Foi informado um investimento com taxa nominal de
ao ano com capitalização trimestral. - Pergunta: qual é a taxa efetiva anual correspondente (aproximadamente)?
Passo 2
Entendendo os termos (aulas rapidinhas, mas sem enrolação):
- Taxa nominal anual com capitalização
vezes por ano, denotada por , significa que a taxa indicada é dividida igualmente em períodos dentro do ano. - A taxa periódica (por período) é
. - A taxa efetiva anual
é o resultado do efeito dos períodos compostos no ano, dada pela fórmula
Aqui cada símbolo significa:
-
: taxa nominal anual (em forma decimal) com capitalizações por ano; -
: número de capitalizações por ano (aqui por trimestre); -
: taxa efetiva anual (em forma decimal).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado:
- Temos
, o que em decimal é . - Como a capitalização é trimestral,
. - A taxa periódica por trimestre é
Passo 4
Montando a fórmula específica do problema:
Agora precisamos calcular
. Vou mostrar passo a passo os cálculos (do jeito que dá pra fazer no caderno).
Passo 5
Cálculo passo a passo de
:
- Primeiro quadrado:
- Terceira potência:
- Quarta potência:
(Se preferir uma verificação pelo desenvolvimento binomial:
, que ao calcular cada termo dá o mesmo resultado arredondado.)
Passo 6
Encontrando a taxa efetiva anual e convertendo para porcentagem:
Em porcentagem:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em exames):