Questão 55 (CESGRANRIO / BB - 2012). Um investimento rende a taxa nominal de 12 \% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente ?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede):
  • Foi informado um investimento com taxa nominal de 12\% ao ano com capitalização trimestral.
  • Pergunta: qual é a taxa efetiva anual correspondente (aproximadamente)?

Passo 2

Entendendo os termos (aulas rapidinhas, mas sem enrolação):
  • Taxa nominal anual com capitalização m vezes por ano, denotada por i^{(m)}, significa que a taxa indicada é dividida igualmente em m períodos dentro do ano.
  • A taxa periódica (por período) é \dfrac{i^{(m)}}{m}.
  • A taxa efetiva anual i_{\text{efetiva}} é o resultado do efeito dos m períodos compostos no ano, dada pela fórmula
i_{\text{efetiva}}=\left(1+\dfrac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}-1.
Aqui cada símbolo significa:
  • i^{(m)}: taxa nominal anual (em forma decimal) com m capitalizações por ano;
  • m: número de capitalizações por ano (aqui m=4 por trimestre);
  • i_{\text{efetiva}}: taxa efetiva anual (em forma decimal).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
  • Temos i^{(4)}=12\%, o que em decimal é i^{(4)}=0,12.
  • Como a capitalização é trimestral, m=4.
  • A taxa periódica por trimestre é
\dfrac{i^{(4)}}{4}=\dfrac{0,12}{4}=0,03\quad(\text{ou }3\% \text{ por trimestre}).

Passo 4

Montando a fórmula específica do problema:
i_{\text{efetiva}}=\left(1+0,03\right)^{4}-1.
Agora precisamos calcular \left(1,03\right)^{4}. Vou mostrar passo a passo os cálculos (do jeito que dá pra fazer no caderno).

Passo 5

Cálculo passo a passo de \left(1,03\right)^{4}:
  • Primeiro quadrado:
1,03^{2}=1,03\times1,03=1,0609.
  • Terceira potência:
1,03^{3}=1,0609\times1,03=1,092727.
  • Quarta potência:
1,03^{4}=1,092727\times1,03=1,12550881.
(Se preferir uma verificação pelo desenvolvimento binomial: (1+0,03)^{4}=1+4\cdot0,03+6\cdot0,03^{2}+4\cdot0,03^{3}+0,03^{4}, que ao calcular cada termo dá o mesmo resultado arredondado.)

Passo 6

Encontrando a taxa efetiva anual e convertendo para porcentagem:
i_{\text{efetiva}}=1,12550881-1=0,12550881.
Em porcentagem:
i_{\text{efetiva}}=12,550881\%.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em exames):
i_{\text{efetiva}}\approx12,55\%.

Resposta

12,55\%

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