Questão 53 (CESGRANRIO / Liquigás - 2014). Uma instituição financiou R \ 10.000,00 , utilizando uma taxa de juros de6 %$ ao semestre com capitalização mensal. Se o financiamento foi quitado ao final de três meses, os juros foram, aproximadamente, de ?

Passo 1

O enunciado pede: calcular os juros de um financiamento de \text{R\$}10.000,00 quando a taxa é de 6\% ao semestre com capitalização mensal e o pagamento ocorreu ao final de 3 meses.
Informações dadas:
\text{1.} Capital inicial = \text{R\$}10.000,00.
\text{2.} Taxa nominal =6\% ao semestre (ou seja, 6\% por 6 meses) com capitalização mensal.
\text{3.} Tempo de financiamento =3 meses.
Pergunta: quais foram os juros (valor dos juros) cobrados ao final dos 3 meses?

Passo 2

Entendendo o que significa “taxa nominal de 6\% ao semestre com capitalização mensal”: isso quer dizer que 6\% é a taxa aplicada ao período de 6 meses, mas os juros são capitalizados (aplicados) mensalmente. Para transformar essa taxa nominal numa taxa por mês usamos a divisão pelo número de meses do semestre. Então a taxa mensal é
i_{\text{mês}}=\frac{6\%}{6}=1\%=0,01.ê
Explicação didática: a “taxa nominal” informada para um período maior (semestre) é repartida igualmente entre os subperíodos (meses) quando a capitalização é mensal. Assim cada mês recebe 1\%.

Passo 3

Fórmula do montante com capitalização composta (juros compostos): se P é o principal, i a taxa por período e n o número de períodos, o montante final M é
M = P(1+i)^n.
Aqui P=\text{R\$}10.000,00, i=0,01 (mensal) e n=3 (três meses). Então o fator de acumulação em 3 meses é
(1+0,01)^3.
Breve teoria: juros compostos acumulam os juros sobre juros; por isso elevamos 1+i ao número de períodos.

Passo 4

Calcular (1+0,01)^3 = 1{,}01^3. Façamos passo a passo sem calculadora:
Primeiro calcule 1{,}01^2:
1{,}01^2 = 1{,}0201.
Agora multiplique por 1{,}01:
1{,}01^3 = 1{,}0201\times 1{,}01 = 1{,}0201 + 0{,}010201 = 1{,}030301.
(ou usando expansão binomial: 1+3\cdot 0{,}01 + 3\cdot 0{,}01^2 + 0{,}01^3 = 1{,}030301.)

Passo 5

Agora encontramos o montante M e os juros J. Montante:
M = P(1+i)^n = \text{R\$}10.000{,}00 \times 1{,}030301 = \text{R\$}10.303{,}01.
Os juros são a diferença entre montante e principal:
J = M - P = \text{R\$}10.303{,}01 - \text{R\$}10.000{,}00 = \text{R\$}303{,}01.
Interpretação: em três meses, com 1\% ao mês composto, os juros sobre \text{R\$}10.000,00 dão aproximadamente \text{R\$}303{,}01.

Resposta

\text{R\$}303{,}01

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