Questão 56 (CESGRANRIO / BB - 2015). Um cliente foi a um banco tomar um empréstimo de 100 mil reais, no regime de juros compostos, a serem pagos após 3 meses por meio de um único pagamento. Para conseguir o dinheiro, foram apresentadas as seguintes condições:
I - taxa de juros de 5 \% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior; II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Foi tomado um empréstimo no valor de 100{.}000 reais.
  • O regime é de juros compostos, com pagamento único após 3 meses.
  • Condição I: taxa de juros de 5\% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior.
  • Condição II: impostos e taxas podem ser financiados juntamente com os 100{.}000 reais (observação: o enunciado não fornece valor adicional de impostos/taxas, portanto não há quantia extra conhecida a ser incorporada ao principal).
    Pergunta implícita (a ser respondida): qual é o valor total a ser pago ao final dos 3 meses?

Passo 2

Entendimento do que devemos calcular (sem resolver ainda): precisamos calcular o montante acumulado ao final de 3 meses sobre o principal financiado. Como não foi dado nenhum valor extra de impostos/taxas, o principal financiado que usaremos é 100{.}000 reais. Agora vamos aplicar a regra de juros compostos ao longo de 3 meses com taxa mensal de 5\%.

Passo 3

Fórmula e explicação do conceito (aula rápida e prática).
  • Juros compostos significam que a cada período os juros são calculados sobre o saldo total acumulado até então (ou seja, juros sobre juros).
  • A fórmula padrão para o montante M após n períodos é:
M = P(1+i)^n
onde:
P = principal (valor emprestado inicialmente),
i = taxa de juros por período (em forma decimal),
n = número de períodos (neste caso, meses),
M = montante ou valor a ser pago ao final.
Essa fórmula vem da multiplicação sucessiva: após um mês o saldo é P(1+i); após dois meses é P(1+i)(1+i)=P(1+i)^2; e assim por diante.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados do problema:
  • P = 100{.}000.
  • i = 5\% = 0,05.
  • n = 3.
    Substituindo na fórmula:
M = 100{.}000\,(1+0,05)^3.
Calculemos passo a passo (1+0,05)^3:
1+0,05 = 1,05.
1,05^2 = 1,05 \times 1,05 = 1,1025.
1,05^3 = 1,1025 \times 1,05 = 1,157625.
Agora o montante:
M = 100{.}000 \times 1,157625 = 115{.}762,50.
Interpretando em moeda: o valor a ser pago ao final dos 3 meses é R\$\,115{.}762,50.

Passo 5

Comentário prático e incentivo: sempre que sair da fórmula, faça as multiplicações em etapas (como fizemos: primeiro 1,05^2, depois multiplicar por 1,05) — isso evita erros e é fácil de fazer numa prova sem depender de truques. Você já derrotou os juros compostos aqui; bola pra frente, você consegue com os próximos exercícios também!

Resposta

R\$\,115{.}762,50

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